Умови та особливості використання модифікованого методу Ейлера для отримання другої похідної в кінцево-різницевій формі. Два обчислення функції за крок. Метод Ейлера-Коші як частковий випадок методу Рунге-Кутта. Метод четвертого порядку точності.
При низкой оригинальности работы "Розв’язування звичайних диференціальних рівнянь. Методи Рунге-Кутта", Вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100%
Розвязування звичайних диференціальних рівнянь Метод и Рунге-Кутта2 Як підвищити точність? Очевидно, чим вище порядок обчислюваної похідної, тим більше додаткових обчислень буде потрібно усередині інтервалу.3 Методи Рунге-Кутта Метод Рунге-Кутта дає набір формул для розрахунку координат внутрішніх точок, потрібних для реалізації визначеної ідеї. Існує декілька способів розташування внутрішніх точок і вибору відносної ваги для знайдених похідних, отже метод Рунге-Кутта по суті обєднує ціле сімейство методів вирішення диференціальних рівнянь першого порядку. Один з найпростіших методів Рунге-Кутта другого порядку використовує лише два обчислення функції за крок.4 Два обчислення на крок Перше обчислення: Друге обчислення: Наступне значення функції обчислюється у вигляді комбінації a , b , с 1 і с 2 - невизначені коефіцієнти5 Метод Е йлера-Коші як частковий випадок методу Рунге-Кутта6 Щоб визначити коефіцієнти, розкладемо одержаний вираз через формулу Тейлора відносно точки х n , розглядаючи як функцію двох змінних: де f x і f y є частинними похідними f (x , y ).7 Підставляємо це значення у вираз для y (x n h ) Порівняємо одержаний вираз із розкладом точного розвязку8 Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях h , приходимо до системи рівнянь відносно коефіцієнтів: Вибравши один з цих коефіцієнтів, наприклад a , за параметр, приходимо до одно - параметричного сімейства методів Рунге-Кутта9 Інші методи Рунге-Кутта Метод Ейлера і його модифікація по суті є методами Рунге-Кутта першого і другого порядку відповідно. Найбільш поширеним з них є метод, при якому одержуються всі члени, включаючи h 4 .10 Метод четвертого порядку точності Локальна помилка на кроці має порядок h 5 Розрахунки проводяться за формулою:11 При клад Нехай потрібно розвязати рівняння: за початкової умови y (0)= 1, 0 ? x ? 1 і h =0,1.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
