Обґрунтування вимог до критичного та некритичного випадків побудови розв’язків звичайних диференціальних рівнянь. Моделювання алгебраїчної системи лінійних неоднорідних відповідей для крайових задач. Доведення теореми лінійно незалежних розв’язків.
Аннотация к работе
Державний вищий навчальний закладКрайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) описують задачі руху системи взаємодіючих матеріальних точок, опору матеріалів (наприклад, статичний прогин пружного стержня), теорії оболонок, біофізики тощо.Цей факт дозволяє розробляти конструктивні методи для знаходження умов існування та побудови розвязків лінійних неоднорідних алгебраїчних систем рівнянь, коли число невідомих не співпадає з числом рівнянь. Множина всіх розвязків однорідного рівняння Gx = 0 утворює підпростір Ker(G), Rn і називається ядром (mn) - вимірної матриці: Через GT будемо позначати транспоновану до G матрицю. Ядро Ker (GT) матриці GT називається коядром матриці G - i позначається Coker (G). Ортопроектором PG до (mn) - вимірної матриці G називається (mm) - вимірна матриця, яка проектує простір Rn на ядро Ker (G) матриці G: PG ? Rn - Ker (G), Ker (G) = P - GRN Ортопроектором до (nm) - вимірної матриці GT називається (mm) - вимірна матриця PG, яка проектує (GT) матриці GT: (P) - (G T) ? Rm - Ker (GT)Розглянемо лінійну неоднорідну систему диференціальних рівнянь: Яка задовольняє крайові умови: lx ? (х) = ? (5) Рісса, для будь-якого лінійного функціонала l, заданого на просторі неперервних на (ab) функцій, існує неперервна зліва матрично-значна функція С (t) обмеженої варіації така, що лінійний функціонал можемо записати за допомогою інтеграла Рімана-Стілтьєса: Тоді, крайові умови (4) можемо записати у вигляді: Загальний розвязок лінійної неоднорідної системи рівнянь (4) має вигляд: x (t) = X (t) c X (t) ? - 0 TX (-1) (s) f (s) ds (6) Підставляючи загальний розвязок лінійної неоднорідної системи диференціальних рівнянь (4) вигляду (6) в крайові умови (5), одержимо наступну алгебраїчну відносно с систему рівнянь: Де: G - (n ? n) вимірна матриця, яка одержується при підстановці фундаментальної матриці X (t) в крайові умови (5): Змінюючи в системі (7) порядок інтегрування та позначаючи: Q (s) = ? - s b ((а (DC (t)) X (t) X (-1) (s))) Нехай лінійна однорідна крайова задача (9) має тільки тривіальний розвязок.Таким чином, розвязок крайових задач займає важливе місце серед прикладних задач математики, фізики, хімії і техніки. Знайти точний розвязок крайової задачі для нелінійних систем диференціальних рівнянь в елементарних функціях вдається рідко: для цього треба знайти загальний розвязок системи нелінійних диференціальних рівнянь і явно визначити з крайових умов значення сталих, які в нього входять. В більшості випадків знайти розвязок крайової задачі можна за допомогою чисельних методів, зокрема за допомогою методу скінченних різниць.
План
Зміст
Вступ
1. Псевдообернена матриця та ортопроектори
2. Побудова розвязків крайових задач для лінійних неоднорідних систем диференціальних рівнянь