Розв’язання алгебраїчних рівнянь в радикалах - Курсовая работа

Роль математики в різних галузях людської діяльності з часом змінювалася, причому найістотніше залежала вона від двох факторів: рівня розвитку математичного апарату і ступеня зрілості знань про той чи інший досліджуваний обєкт, тобто можливості описати найістотніші його властивості мовою математичних понять або, як тепер прийнято говорити, можливості побудувати математичну модель цього обєкта. Вивчення починається з найпростішого випадку одного рівняння першого степеня з одним невідомим, а потім поглиблюється в двох напрямах: 1) розглядаються системи двох і трьох рівнянь першого степеня з двома, і відповідно, трьома невідомими; 2) вивчається одне квадратне рівняння з одним невідомим і деякі окремі типи рівнянь, що легко зводяться до квадратних.Відкриття алгоритма диференціального та інтегрального обчислень Ньютона (1643-1727) і Лейбніцем (1646-1716) в кінці XVII ст. передували значні досягнення в алгебрі: розвязання рівнянь першої та другої степені, введення в алгебру єдиної алгебраїчної символіки. Алгебричні рівняння 1-го степеня з одним невідомим розвязували вже в давньому Єгипті і давньому Вавилоні . Вавилонські переписувачі вміли розвязувати і квадратні рівняння, а також найпростіші системи лінійних рівнянь і рівнянь 2-го степеня. За допомогою особливих таблиць вони розвязували і деякі рівняння 3-го степеня, наприклад х3 х = а. Але якщо вавилоняни за два тисячоліття до нашої доби вміли числовим шляхом розвязувати задачі звязані з рівняннями першої та другої степені, то розвиток алгебри в працях Евкліда (365 - бл.Проте в трактаті Омара Хайяма «Про доведення задач із алгебри і ал-джебри» знаходимо більш строгу класифікацію всіх рівнянь до третього степеня включно. Поет і вчений Омар Хайям (1048-1131) написав трактат про алгебраїчні рівнянням, де привів їх класифікацію, що складається з 25 видів, 14 з яких були кубічні . Хайям пише: «Алгебраїчні обчислення проводяться за допомогою рівнянь; як добре відомо, рівняння - це зрівняння одних ступенів іншими ». Наприклад , для рівняння x ? 41 ? = 80x ? їм було знайдено два кореня : x = 41 , x = 41 39 (3 / 4 ) і т.д. Розглянемо рівняння третього степеня: Зробимо в цьому рівнянні заміну змінної: x = u v, ввівши дві невідомі u і v отримаємо: Згрупуємо: Підчиним тепер невідомі u і v умові: Т оді попереднє рівняння буде вигладяти: Отже, для визначення невідомих величин u і v ми отримали систему рівнянь: Піднесемо останній вираз до кубу: Дві отриманих рівності, що звязують u3 і v3 дозволяють стверджувати, що ці величини є розвязанням квадратного рівняння: Вираз: називається дискримінантом кубічного кореня.2.4.1Теорема Руффіні стверджує, що загальне рівняння пятого та вищого степеня є нерозвязним в радикалах . Тобто, не існує алгебраїчної формули, що виражає корені многочлена пятого чи вищого степеня. Основна теорема алгебри доводить, що рівняння-го степеня має комплексних коренів . Тому загальну відповідь про наявність коренів многочлена над заданим полем та розвязність над цим полем дає теорія Галуа . В 1770 році Жозеф-Луї Лагранж в своїй роботі, описуючи способи знаходження коренів рівнянь, використав поняття групи перестановок коренів рівняння.Для вирішення цих рівнянь був відкритий єдиний спосіб і сподівалися, що він застосовний до рівнянь будь-якого ступеня ; але , незважаючи на всі зусилля Лагранжа та інших видатних математиків , поставлена мета не була досягнута ... У разі існування рішення могли його отримати , нічого про нього попередньо не знаючи ; але якщо , до нещастя , рішення не існувало , то його могли б марно шукати цілу вічність. Для того щоб отримати напевно деякі результати з цього питання , треба було вибрати іншу дорогу , надавши проблемі такий вигляд, щоб вона була завжди можна залагодити , а це можна зробити за будь-якою проблемою . Абелю вдалося подолати ці труднощі : він довів , що загальне рівняння пятого ступеня нерозвязно в радикалах - рішення такого рівняння не можна виразити через його коефіцієнти за допомогою арифметичних дій і вилучення коренів . Наприклад , розділити кут a на n рівних частин значить висловити cos a через cos (a / n ) і вирішити вийшло рівняння щодо cos (a / n ) . так як cos a = 4 cos3 (a / 3 ) - 3 cos (a / 3 ) то при n = 3 отримуємо кубічне рівняння яке , як і всяке кубічне рівняння , вирішується в радикалах .Розвязати рівняння: . Запишемо рівняння: чи чи чи . Розвязати рівняння: Під знаком кореня - повний квадрат Розвязати рівняння: . Розвязати рівняння: Знайдемо спочатку ОДЗ із нерівностейАдже її можна застосовувати на практиці для вирішення кола задач. Геодезія - це наука про методи визначення фігури і розмірів Землі, зображення земної поверхні на планах і картах і точних вимірювань на місцевості, повязаних з розвязанням різних наукових і практичних завдань.Більше чотирьох тисяч років людство вміє розвязувати задачи, які призводять до рівнянь. І все-таки на протязі двох тисяч років володіння деякими, не надто поверхневими, знаннями в області математики було необхідною складовою частиною в інтелектуальному інв

ЗМІСТ

I. ВСТУП

II. ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

2.1 Прийоми розвязання задач в першому і другому степені в Індії та Греції

2.2 Досягнення арабських математиків в області алгебраїчних рівнянь

2.3 Історія розвязання рівнянь в третій та четвертій степені видатних математиків (Дель Ферро, Дж. Кардано, Феррарі)

2.4 Найвидатніші теореми про радикали вищих степенів

2.4.1 Теорема Руффіні

2.4.2 Теорема Абеля

III. ПРАКТИКО-МЕТОДОЛОГІЧНИЙ МАТЕРІАЛ

IV. АКТУАЛЬНІСТЬ ДОСЛІДЖУВАНОЇ ТЕМИ

V. ВИСНОВКИ

VI. СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ алгебраїчне рівняння радикал теорема