Розв’язання алгебраїчних рівнянь. Методи простих ітерацій та Ньютона - Курсовая работа

бесплатно 0
4.5 129
Види рівнянь та методи їх розв’язань. Чисельні методи уточнення коренів, постановка задачі. Рішення нелінійного рівняння методом простих та дотичних ітерацій. Використання програмних засобів. Алгоритми розв’язку задач. Програми мовою С , їх тестування.

Скачать работу Скачать уникальную работу

Чтобы скачать работу, Вы должны пройти проверку:


Аннотация к работе
При рішенні систем нелінійних і трансцендентних рівнянь дуже складно знайти точне рішення. Задача пошуку кореня системи рівняння може вважатися практично вирішеною, якщо ми зуміємо визначити корінь з потрібним ступенем точності і вказати межі можливої погрішності. У наш час рішення систем нелінійних рівнянь досить актуальна тема, адже її можна застосовувати на практиці для рішення кола задач.Рівняння виду ?(х)=g(x) або f(x)=0 називаються нелінійними рівняннями. Всі нелінійні рівняння можна поділити на алгебричні та трансцендентні. Функція називається алгебраїчною, якщо для отримання значення функції на заданій множині х потрібно здійснити арифметичні операції та піднесення в степінь з раціональним або ірраціональним показником. Рівняння, яке містить алгебраїчні функції називають нелінійними алгебраїчними рівняннями.Для уточнення коренів нелінійного рівняння з заданою похибкою ? на деякому відрізку [a,b] на практиці використовують такі методи: половинного ділення; Всі ці методи є ітераційними, тобто побудовані на алгоритмах, в яких одна з їх частин повторюється багаторазово, при чому кількість повторень залежить від початкових даних (від заданої користувачем похибки, від відрізка дослідження та інше). Збіжність ітераційного процесу: якщо в результаті проведення ітерацій одержуємо деяку послідовність х1, х2, … , xn (не важливо, це скалярні чи векторні величини), та якщо ця послідовність збігається до точного розвязку х = а, тобто існує границя цієї послідовності , то метод є збіжним. Метод, як правило використовується для грубого знаходження кореня рівняння. Метод Ньютона ефективний для розвязування тих рівнянь, для яких значення модуля і похідної | f’(x)| біля кореня достатньо велике , тобто графік функції f(x) в околі даного кореня має велику крутизну.Програма створюється для рівнянь, які вирішуються чисельним методом і перевірка яких може здійснюватися аналітично. Дані програми повинні виводити результат знайдених коренів, при введені користувачем х та точності розрахунку. Для перевірки результатів аналітичним способом використаємо Mathcad, ця програма побудує графік для нашого рівняння.Виберемо за початкове наближення кореня значення і підставимо в праву частину рівняння (2.1.1). Якщо для всіх виконується нерівність то на проміжку [a, b] рівняння має єдиний корінь і процес ітерації збігається до цього кореня незалежно від вибору початкового наближення . Методом ітерації знайти додатній корінь рівняння х3 - 5х 1 = 0 на відрізку [0; 0,5], ще два корені на відрізку [-3;-2], [2, 3]. Таким чином при практичному знаходженні кореня за методом ітерації при переході від рівняння f(x) = 0 до (2.1.1) необхідно зобразити так, щоб похідна за абсолютною величиною була якомога менша одиниці. М1 - найбільше значення похідної на відрізку [a, b], Якщо похідна - відємна, то замість рівняння f(x) = 0 розглянемо рівняння - f(x) = 0.Для досягнення даної мети ми використаємо програму розроблену мовою С , для розвязку даного рівняння. Область застосування цієї мови включає створення операційних систем, різноманітних прикладних програм, драйверів пристроїв, додатків для вбудованих систем, високопродуктивних серверів, а також розважальних доданків.Для вирішення поставленої задачі, необхідно розробити алгоритм дій. Для обох методів можна обрати спільний алгоритм: за допомогою функції return ввести функцію; обрати тип даних та ввести змінні; вивести на екран рядок для введення користувачами даних; Для роботи програми використаємо наступні дані: #include - бібліотека використана в програмі, оскільки вона відповідає за виведення тригонометричних функцій, використання модуля, #include - бібліотека для використання setw(), #include - ця бібліотека використана, оскільки вона відповідає за ввід і вивід даних (подібно до stdio.h в Сі), в даній програмі вона використовується для обєктів cout, cin;#include #include #include using namespace std; //*Ітерацій може бути дуже багато, тому пропоную //цілі, а дабл як лічильник, хоча, якщо рішення не знайшлиДля перевірки розвязків програми в Mathcad-і було побудовано графік заданої функції, результати рис. Для перевірки ми використали довільні допустимі дані. Введіть початкове значення 1 Введіть точність обчислень 0.01При виконанні даної роботи були розглянуті теоретично і практично основні характеристики методів простих ітерацій та Ньютона. Метою нашого дослідження було створення програм для методів простих ітерацій та Ньютона та порівняння результатів їх обчислень. Порівнявши отримані розвязки двома методами, виявилося, що метод простих ітерацій здійснює більшу кількість ітерацій (300), а метод Ньютона видає результат за декілька кроків за допомогою двох ітерацій (дані результати для заданого рівняння).

План
ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ 1. ВИДИ РІВНЯНЬ ТА МЕТОДИ ЇХ РОЗВЯЗАНЬ

1.1 Загальні поняття та визначення

1.2 Чисельні методи уточнення коренів

1.3 Постановка задачі

РОЗДІЛ 2. РОЗВЯЗКИ МЕТОДІВ ПРОСТИХ ІТЕРАЦІЙ ТА НЬЮТОНА

2.1 Рішення нелінійного рівняння методом простих ітерацій

2.2 Рішення нелінійного рівняння методом Ньютона (дотичних)

2.3 Використання програмних засобів

2.4 Алгоритми розвязку задач

РОЗДІЛ 3. ПРАКТИЧНЕ ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДІВ

3.1 Програми мовою С

3.2 Тестування програм

ВИСНОВКИ

ЛІТЕРАТУРА

Вывод
рівняння ітерація програма тестування

При виконанні даної роботи були розглянуті теоретично і практично основні характеристики методів простих ітерацій та Ньютона.

Метою нашого дослідження було створення програм для методів простих ітерацій та Ньютона та порівняння результатів їх обчислень.

Проаналізувавши отримані результати, можна сказати, що розвязки рівнянь, які близькі до розвязків аналітичним способом залежать від вибору початкового значення х та введеної точності.

Порівнявши отримані розвязки двома методами, виявилося, що метод простих ітерацій здійснює більшу кількість ітерацій (300), а метод Ньютона видає результат за декілька кроків за допомогою двох ітерацій (дані результати для заданого рівняння). Хоча метод простих ітерацій простіше в реалізації, в результаті він видає наближені розвязки, а метод Ньютона більш точні.

Дані методи сходяться за невелику кількість ітерацій, якщо початкове наближення взято близько до точного розвязання. При віддаленні початкового наближення від точного рішення, швидкість збіжності і число ітерацій методів відрізняються на порядки, метод Ньютона сходиться за набагато менший час і число ітерацій. При дуже сильному віддаленні від початкового рішення застосування методу простої ітерації недоцільно через дуже великі обчислювальні витрати.

Метод Ньютона виявився більш ефективним, ніж метод простих ітерацій по всіх розглянутих параметрах.

Список литературы
1. Демидович Б.П., Марон И.А. «Основы вычислительной математики», - М.: Наука, 1970. - 664 с.

2. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Е.З. «Численные методы анализа», - М.: Мир, 1967

3. Мак - Кракен Д., Дрон У. «Численные методы и программирование на фортране», - М.: Мир, 1977. - 584 с.

4. Программирование и математическое моделирование. Методические указания. Часть 1./ Тихомиров А.Е., Снежко Е.М., Еременко А.Н. и др., Издательство ДГУ, 1993.

5. Бугрім Є.Д., Боцьва Н.П.: «Методичні рекомендації до вивчення курсу «Основи мови програмування Сі»», - Д: ДДУ,1999.

6. posibnyky.vntu.edu.ua/met/lek4.htm

7. www.100balov.com/.../NEL_RIWN.doc

Размещено на .ru

Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность
своей работы


Новые загруженные работы

Дисциплины научных работ





Хотите, перезвоним вам?