Історія створення теорії алгебраїчних рівнянь. Сутність системи лінійних алгебраїчних рівнянь в лінійній алгебрі. Повна характеристика методів розв"язання рівнянь: точні, ітераційні та ймовірнісні. Особливості теорем Гауса-Жордана та Габріеля Крамера.
При низкой оригинальности работы "Розв"язування систем трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими за правилом Крамера", Вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100%
Математика, як і інші науки, використовується для обслуговування людських потреб у прийнятті правильних рішень. У математиці, механіці й фізиці, в техніці й економіці розвязування багатьох задач зводиться до розвязування систем рівнянь першого степеня з кількома невідомими або, як прийнято говорити, систем лінійних рівнянь. (Назва рівняння першого степеня - лінійне - повязана з тим, що в аналітичній геометрії рівняння першого степеня з двома невідомими ах ву=с визначає пряму лінію на площині.) Так звана лінійна алгебра виросла з розвязування систем двох та трьох лінійних рівнянь з двома та трьома невідомими. Теорія і практика розвязання систем алгебраїчних рівнянь мають давню історію.Система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) - в лінійній алгебрі система лінійних рівнянь, яка має вигляд: Це система m лінійних рівнянь з n невідомими, де є невідомими, є коефіцієнтами системи, - вільними членами. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь відіграють важливу роль у математиці, оскільки до них зводиться велика кількість задач лінійної алгебри, теорії диференціальних рівнянь,математичної фізики тощо, та областей фізики й техніки, де застосовуються ці математичні теорії. Розвязком системи лінійних алгебраїчних рівнянь є будь-яка сукупність дійсних чисел , яка при підстановці кожне рівняння системи перетворює його в тотожність. Якщо система має хоча б один розвязок, то вона називається сумісною, і несумісною, якщо не має жодного.Методи розвязування систем лінійних албераїчних рівнянь можна досить чітко поділити на три групи: точні, ітераційні та ймовірнісні. До точних методів належать методи, що дають точний результат у припущенні ідеальної арифметики .Точні методи можна застосовувати й тоді, коли коефіцієнти й вільні члени рівняння задані в аналітичній, символьній формі. Суть його в тому, що із першого рівняння змінна виражається через інші змінні, й підставляється в усі інші рівняння. У випадку, якщо він нульовий, можна вибрати інше рівняння, оскільки перестановка рівнянь у системі дає еквівалентну систему. В результаті утворюється нова система рівнянь, в якій рівнянь на одне менше.Визначником другого порядку називається число, яке позначають символом і виконується рівність Числа називаються елементами визначника. Визначником третього порядку називається число, яке позначають символом(швейцарський математик, 31.07.1704 - 04.01.1752): Теорема Крамера: якщо основний визначник неоднорідної системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими не дорівнює нулю, то ця система має єдиний розвязок, який знаходиться за формулами (1) де - допоміжний визначник, який одержується з основного визначника - шляхом заміни його k-го стовпця стовпцем вільних членів системи. Отже: Якщо , то система матиме єдиний розвязок (1). Якщо , то система або невизначена, або несумісна(система буде несумісною - не матиме жодного розвязку, якщо хоча б один з ) .Розвязати системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими методом Крамера: 1. Так як , то задана система рівнянь сумісна і має єдиний розвязок.Ми розглянули нове поняття - визначник, докладно розглянули визначники третього порядку, що часто зустрічаються на практиці.
План
Зміст
Вступ
1. Система лінійних рівнянь
2. Методи розвязання
3. Визначники
4. Правило Крамера
5. Приклади
Висновки
Література
Вывод
Ми розглянули нове поняття - визначник, докладно розглянули визначники третього порядку, що часто зустрічаються на практиці. Розглянули теорему Крамера, яка дає практичний спосіб розвязання систем лінійних рівнянь, для випадку, коли рішення єдине.
Викладені підрахунки кількості операцій, необхідних для знаходження величини визначника матриці, розвязки системи лінійних рівнянь і перетворення матриці, не враховують деяких побічних операцій і не беруть до уваги зростання кількості десяткових знаків у числах, які множаться або додаються. Тим не менше, отримані результати можуть бути корисними для вирішення питання: чи потрібно розвязувати будь-яку практично цікаву систему лінійних рівнянь ручним способом чи доцільніше передати замовлення в обчислювальний центр.
Список литературы
1. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1979. - 512 с.
2. Глейзер Г.И. История математики в школе. - М., 1983. - 352 с.
3. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. - М.: Астрель, 2001. - 640 с.
4.Завало С.Т., Костарчук В.М., Хацет Б.І. Алгебра і теорія чисел, ч.1. - К.: Вища шк., 1974. - 32с.
5.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1975. - 432 с.
6. Назієв Е.Х. та ін. Лінійна алгебра та аналітична геометрія: Навч. посібник / Е.Х. Назієв, В.М. Владіміров, О.А. Миронець. - К.: Либідь, 1997. - 152 с.
