Формула Блека-Шоулса для американських опціонів колл (пут) з нульовою внутрішньою вартістю. Безарбітражна ціна опціону, на акції, за якими не сплачуються дивіденди, - дисконтоване математичне сподівання розподілення абсолютного максимуму (мінімуму) ціни.
Аннотация к работе
Розподілення абсолютного максимуму в методиці обґрунтування ціни американського опціонуПоказано, що безарбітражна ціна опціону, на акції за якими не сплачуються дивіденди, є дисконтованим математичним сподіванням розподілення абсолютного максимуму (мінімуму) ціни акції. Зроблено порівняльний аналіз результатів з тими, що отримали Блек і Шоулс для європейських опціонів при однакових цінах купівлі акції і виконання опціону. Показано, что безарбитражная цена опциона на акции по которым не выплачиваются дивиденды, является дисконтированным математическим ожиданием распределения абсолютного максимума (минимума) цены акции. Сделан сравнительный анализ результатов с теми, которые получили Блэк и Шоулз для европейских опционов при одинаковых ценах покупки акции и исполнения опциона. The partial analogue of formula of Black-Scholes is found for American call options (put option) with a zero intrinsic value.Для обґрунтування премії американського опціону досліджуються імовірнісні характеристики максимального і мінімального значення марковського процесу ціни акції протягом дії опціону . Задача полягає в тому, щоб добре досліджений апарат марковських процесів залучити для обґрунтування премії американського опціону колл - і пут -, які повязані з дисконтованими за тривалістю дії опціону математичними сподіваннями : (5) У нашому випадку доводиться стикатися не з ціною акції наприкінці опціону , як це відомо для аналогічних (5) цін європейського опціону, а з поточною ціною акції , яка змінюється в часі і має певні статистичні характеристики в межах цінового коридору. Тоді ймовірність того, що за час процес не перевищить деякий поріг встановлює ймовірнісні характеристики недисконтованої премії американського опціону колл (див. рис.1 а): , (7) а подібна ймовірність для процесу, який не буде нижчим за - ймовірнісні характеристики недисконтованої премії американського опціону пут (див. рис.1, б): . Із (7) та (8) слідують розподілення недисконтованих премій опціонів колл і пут: (9) для яких розподілення абсолютного максимуму та мінімуму дорівнюють [4, с.312]: (10) де - розвязання рівняння (4) з граничною і початковою умовами [3, с.124]: .Наукова новизна отриманих результатів полягає в отриманні ціни американських опціонів за допомогою апарату марковських процесів. Аналіз ціни американського опціону колл (рис.2) доводить його постійно зростаючу цінність, при якій дострокове виконання невигідне покупцю: краще продати опціон за ціною завжди набагато більшої зовнішньої вартості.