Розгляд принципу максимуму Понтрягiна для систем диференціальних рiвнянь з запiзненням по аргументу та з нефiксованим часом i фiксованими крайовими умовами - Курсовая работа

бесплатно 0
4.5 285
Постановка задачі оптимального керування. Дослідження принципу максимуму Понтрягiна для систем диференціальних рiвнянь. Розрахунок значення фондоозброєності, продуктивності праці і питомого споживання. Моделювання оптимального економічного зростання.

Скачать работу Скачать уникальную работу

Чтобы скачать работу, Вы должны пройти проверку:


Аннотация к работе
Принцип максимуму в задачі з запізненням ґрунтується на диференційних рівняннях з аргументом, який запізнюється або відхиляється, тобто на таких диференційних рівняннях, в яких невідома функція та її похідна входять при різних значеннях аргументу. Вперше окремі рівняння такого типу зявилися в літературі в другій половині XVIII століття (Кондорсе, 1771 р.), але систематичні дослідження почалися лише в XX столітті у звязку з потребами прикладних наук. Харатішвілі узагальнив принцип максимуму Понтрягіна у випадку постійного запізнення фазової змінної. Його сучасники Чанг і Лі в 1966 р. отримали принцип максимуму для неавтономної системи диференціальних рівнянь в лінійно-квадратичній задачі оптимального управління з кратним запізненням в фазової змінної, але без запізнення в управлінні. Під лінійно-квадратичної завданням приймається та, в якій система диференціальних рівнянь є лінійною за фазовою змінною і управлінням, а функція, для якої вирішується екстремальна задача, квадратично залежить від цих же змінних.Нехай модель системи керування має виглядФункція x(t) називається кусково-неперервною на відрізку [t0, t1], якщо вона неперервна усюди на [t0, t1], за винятком кінцевого числа точок розриву першого роду. Функція x(t) називається кусково-гладкою на відрізку [t0, t1], якщо вона неперервна, а її похідна x"(t) кусково-неперервна на [t0, t1]. Множина всіх кусочно-неперервних і кусочно-гладких функцій на відрізку [t0, t1], що приймають значення з деякої множини M, позначимо відповідно через KC ([t0, t1], M) і KC1 ([t0, t1], M). Розглянемо задачу: (1) де - стан системи, або фазова змінна; - управління системою, або управляюча змінна; - множина усіх можливих значень управління; ?1 = const - параметр запізнення фазової змінної; ?2 = const - параметр запізнення управління. Зміна станів системи описується таким диференціальним рівнянням із запізненням: .Розглянемо диференціальне рівняння з запізненням з початковою умовою для фазової змінної (3) і початковою умовою для керування (4). Позначимо за x?(t) = x?(t; ?, ?) розвязок цього рівняння. (11) а на відрізку задовольняє тому ж диференціальному рівнянню, але з початковою умовою Зокрема функція будучи суперпозицією неперервно-диференційовних функцій, сама є неперервно-диференційованою по ? і, крім того, виконується співвідношення: Далі, функція v1 неперервна у точці , причому , а функція неперервна в точці ?. Покладемо тоді функції неперервно диференційованою по ? і, в силу того, що виконується співвідношення: Де значення розвязку рівняння (24) з початковою умовою (25) у точці , яке продовжене по неперервності.Ввівши позначення , f (k) = F(k, 1) = AK?, одержуємо модель Солоу у відносних показниках: Кажуть, що економіка знаходиться на стаціонарній траєкторії, якщо відносні показники не змінюються в часі. Оскільки x(t), i(t), і c(t) є функціями від k(t), то для того, щоб економіка знаходилась на стаціонарній траєкторії, необхідно і достатньо сталості в часі фондоозброєності k(t), тобто або Підставимо сюди f (k) = Ak? та винесемо k? за дужки, отримаємо умову стаціонарності траєкторії: З останнього рівняння видно, що можливі дві стаціонарні траєкторії економіки: вироджена [коли k = 0, при цьому x = Ak? = 0, i = ?AK? = 0, та c = (1-?)Ak? = 0] і не вироджена [коли .] Розглянемо тепер найпростішу задачу управління економікою, яка описується моделлю Солоу: спробуємо підібрати таку норму накопичення ?, щоб питоме споживання на стаціонарній траєкторії збалансованого сталого економічного зростання було максимальним. Розглянемо питоме споживання на стаціонарної траєкторії c? як функцію норми накопичення: і поставимо задачу визначення такої норми накопичення ?, щоб У точці максимуму перша похідна має дорівнювати нулю (або не існувати), а друга похідна повинна бути відємною. В точці ?* = 0 друга похідна , тобто точка ?* = 0 є точкою мінімуму питомого споживання на стаціонарній траєкторії, а в точці ?* = ? друга похідна , тобто точка ?* = ? є точкою максимуму питомого споживання, що й потрібно було довести.Витрати x1 першого основного цеху заводу від циклу до циклу описуються різницевим рівнянням першого порядку виду: , (1) а витрати x2 другого (допоміжного) цеху описуються різницевим рівнянням виду: (2) Ставиться завдання: так змінити управління цехами u1 і u2 (змінити витрати), щоб на інтервалі управління n = 0 ? N виконувалася умова мінімуму інтегральної цільової функції Різницеві рівняння, за якими обчислюються приєднані функції pi, визначаються з приєднаних функції, які визначаються з різницевих рівнянь першого порядку Недоліком рівнянь (4), (5), (8) і (9) є те, що перші два рівняння описують процес від кінця до початку (номер циклу n спадає), а другі два рівняння - від початку до кінця. Рівняння (10-13) описують динамічних систему від кінця до початку при оптимальному рівнянні.Задачі оптимального керування відносяться до найскладніших екстремальних задач. Найбільш ефективним методом дослідження цих завдань є принцип максимуму Понтрягіна, що представляє собою необхідні умо

План
Зміст оптимальний диференціальний понтрягін продуктивність

Вступ

1. Теоретична частина

1.1 Постановка задачі оптимального керування

1.2 Принцип максимуму Понтрягіна

1.3 Моделювання оптимального економічного зростання

2. Практична частина

Висновки

Список використаної літератури

Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность
своей работы


Новые загруженные работы

Дисциплины научных работ





Хотите, перезвоним вам?