Изучение способов решения задачи И. Бернулли о брахистохроне (кривой наискорейшего спуска) для движения тела в консервативном поле сил (без учета трения и внешних сил). Уравнения, описывающие трансцендентную кривую, являющуюся решением данной задачи.
Аннотация к работе
На сегодняшний момент рассмотрена многими именитыми учеными, имеет множество всевозможных способов решения. Но стоит учесть, что в большинстве этих решений применяются знания из таких математических дисциплин, как Функциональный анализ, Методы оптимизации, Методы вариационных исчислений. Исходя из этого, мною была сделана попытка решить задачу о брахистохроне на основе более широко известных принципах теоретической механики и знаний азов математического анализа. Проводилось исследование различных известных и распространенных способов нахождения линии наискорейшего спуска и их сравнении с собственными вычислениями. На практике с вопросом о линии наискорейшего спуска под действием силы тяжести, получившей название брахистохроны (от греч. ????????? “кратчайший” ?????? “время”), так или иначе, явно или косвенно, сталкивается огромное количество людей.Задача о брахистохроне, т.е. прямой наискорейшего спуска, впервые была поставлена Иоганном Бернулли в его статье, опубликованной в первом научном журнале Германии “Acta Eruditorum” в июне 1696 года. Он представил ее следующим образом: “Я, Иоганн Бернулли, обращаюсь к самым блестящим математикам в мире. Ничто не является более привлекательным для умных людей, чем честная, сложная задача, решение которой, возможно, дарует славу и останется вечным памятником. Следуя примеру Паскаля, Ферма и т.д., я надеюсь получить благодарность всего научного сообщества, указывая лучшим математикам нашего времени проблему, на которой они смогут проверить свои методы и силу своего интеллекта. Задача звучала так: Имеются две точкиПервый представленный им вариант задачи звучал так: “Найти прямую линию, соединяющую точку A с точкой B на вертикальной прямой, которую можно достичь за наименьшее время.” A будет составлять угол в 45 градусов к вертикали при достижении необходимой вертикальной прямой в точке B (Рис.1). Затем он показал, что тело достигнет точки B быстрее, если будет двигаться по двум отрезкам AC и CB, где точка C - точка на окружности, проходящей через точкиВ январе 1697 года в трудах Лондонского королевского общества по развитию знаний о природу было анонимно опубликовано решение рассматриваемой задачи И. Ньютоном. Монтегю, таким образом: Необходимо найти кривую ADB, по которой тело, под действием силы тяжести наиболее быстро спустится из точки Пусть на ней будет описана произвольная циклоида ALF, проходящая через прямую AB (подразумевается, что прямая нарисована и может быть представлена при необходимости). Пусть на ней так же будет описана вторая циклоида ADC, высота и основание которой соотносятся с основанием и высотой первой циклоиды как AB к AL соответственно. Тогда рассматриваемая циклоида ADC пройдет через точку B, и она будет той кривой, по которой тело под действием силы тяжести спустится наиболее быстро из точкиВ мае 1697года в Acta Eruditorum было опубликовано решение самого автора задачи, И. Бернулли. Он представил плоскость множества полос и предположил, что частица на каждой полосе движется по прямой. Принцип Ферма (принцип минимального времени): “В пространстве между двумя точками свет распространяется по тому пути, вдоль которого время его прохождения минимально.” И так, если v-скорость в одной полосе, направленная под углом ? к вертикали, и u-скорость в соседней полосе, направленная под углом ? к вертикали, то по закону косинуса: При рассмотрении в пределе, когда полосы становятся бесконечно узкими, отрезки составляют кривую, в каждой точке которой угол отрезка с вертикальной осью обращается в угол касательной к кривой, который она составляет с вертикальной осью. Если v-скорость в точке (x, y), а ?-угол, который составляет касательная с вертикалью, то кривая удовлетворяет уравнениюРассматривается множество плоских кривых, проходящих через заданные точки и , по которым без трения движется тело в консервативном поле сил.(Рис.4) Время t, за которое тело M (материальная точка), по одной из рассматриваемых кривых переместиться из точки A в точку B можно выразить интегралом: где ds-элемент дуги выбранной кривой, а v-величина скорости. Беленький демонстрирует эквивалентность между задачей о брахистохроне, и задачей о распространении света. Действительно, следуя принципу Ферми для оптически неоднородной среды, можем сказать, что свет между двумя точками распространяется по траектории, для движения по которой затрачивается меньшее время, иными словами время прохождения можно представить в виде: где n-показатель преломления, ds-элемент дуги кривой, по которой происходит распространение света.Эльсгольц в книге “Дифференциальные уравнения и вариационные исчисления” переносит начало координат в начальную точку искомой траектории. Ось x направляет горизонтально, ось y вертикально вниз.(См. Рис.