Основные теоретические сведения по задачам линейного программирования и теории двойственности. Математические модели исходной и двойственной задач планирования выпуска ковров. Анализ решения задачи планирования выпуска ковров с помощью MS Excel.
Аннотация к работе
Премию памяти Нобеля по экономике в 1975 г. получили ”за вклад в теорию оптимального распределения ресурсов” Канторович Леонид Витальевич совместно с Тьяллингом Ч. Купмансом. Канторович разработал метод распределения ресурсов, (известный сегодня как метод линейного программирования Канторовича), произвел максимизацию линейной функции, с учетом большого количества ограничений. Он знал, что максимизация при многочисленных ограничениях - это одна из основных экономических проблем и что его метод может быть использован во многих производствах, например, определение оптимального использования посевных площадей, наиболее эффективного распределения потоков транспорта и т. д. Последующие полтора десятилетия были отмечены широким применением полученных фундаментальных теоретических результатов к разнообразным практическим задачам и связанным с этим переосмыслением потенциальных возможностей теории. В работе “Математические методы организации и планирования производства”, опубликованной в 1939 г., Канторович показал, что все экономические проблемы распределения могут рассматриваться как проблемы максимизации при многочисленных ограничениях, следовательно, могут быть решены с помощью линейного программирования.В общем виде математическая формулировка задачи линейного программирования (ЗЛП) следующая: определить значения переменных , при которых достигается максимум или минимум целевой функции: F ® max (min) целевая функция: при условиях Функция называется целевой функцией, а условия - ограничениями данной задачи. Если в задаче необходимо найти наилучший состав рациона, в которую могут входить несколько составных компонентов (например, сено и силос в рационе коров), то х1 и х2 - количество каждого продукта, которое нужно включить в рацион (в данном случае, сена и силоса). Например, для задачи планирования производства продукции ограничения вытекают из ограниченности на предприятии материальных и трудовых ресурсов, используемых для производства этой продукции. Нормы расхода ресурсов на производство одной единицы продукции каждого типа заданы матрицей {aij}, где aij - количество ресурса i-го вида, необходимое для производства одной единицы продукции j-го типа.В распоряжении фабрики имеется определенное количество ресурсов: рабочая сила (80 чел./дней), сырье (480 кг) и оборудование (130 станко/час). Фабрика может выпускать ковры четырех видов. Информация о количестве единиц каждого ресурса, необходимых для производства одного ковра каждого вида, и доходах, получаемых предприятием от одного ковра, приведена в таблице. Требуется найти такой план выпуска продукции, при котором общая стоимость продукции будет максимальной. Ковер “Лужайка” Ковер “Силуэт” Ковер “Детский” Ковер “Дымка”Составляя математическую модель задачи, обозначаем количество продукции: Ковер “Лужайка” переменной - х1, ковер “Силуэт” - х2, ковер “Детский” - х3, ковер “Дымка” - х4. Прибыль от реализации ковров “Лужайка” составляет 3x1 тыс.руб., ковров “Силуэт” - 4x2 тыс.руб., ковров “Детский” - 3x3 тыс.руб., ковров “Дымка” - x4 тыс.руб., общая прибыль рассчитывается по функции Так как предприятию нужно получить максимальную прибыль, ставится задача максимизации целевой функции Трудовые ресурсы ограничены 80 единицами, его расходуется на производство ковров “Лужайка” - 7x1 единиц, на производство ковров “Силуэт” - 2х2 единицы, на производство ковров “Лужайка” - 2x3 единицы, на производство ковров “Дымка” - 6x4 единиц. Таким образом, математическая модель задачи выглядит следующим образом: Целевая функция представляет собой общую прибыль от производства продукции.Оптимальные значения всех переменных исходной и двойственной задач с пояснением этих значений в терминах постановки задачи. Максимальная прибыль 150 тыс. руб., достигается при выпуске: Ковров “Лужайка” 0 ед., Ковров “Силуэт” 30 ед., Ковров “Детский” 10 ед., Ковров “Дымка” 0 ед.. При этом затрачено ресурсов: Рабочей силы: 80 чел./дней; Не использовано ресурсов (оптимальные значения дополнительных двойственных переменных yi): Рабочей силы: 0 чел./дней; Теневая цена (оптимальные значения дополнительных двойственных переменных zi): Рабочей силы: 1,333333333;При выпуске ковров по оптимальному плану будет остаток сырья (200 кг.) Остальные ресурсы будут использованы полностью. Из отчета по устойчивости можно получить следующие значения теневой цены: z1 = 1,333333333; z2 = 0; z3 = 0,333333333; Сопоставляя значения yi и zi, убеждаемся в справедливости 2-й теоремы двойственности: Наиболее дефицитным видом ресурсов являются трудовые ресурсы, т.к. их теневая цена будет самой наибольшей.К чему приведет плановое задание по выпуску ковров “Дымка” в количестве 10 шт?В результате написания курсовой работы, были получены знания о линейном программировании. Линейное программирование - область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач нахождения экстремума (максимума или минимума) линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, т. е.
План
Оглавление
Введение
1. Основные теоретические сведения по задачам линейного программирования и теории двойственности
2. Постановка задачи
3. Математические модели исходной и двойственной задач планирования выпуска ковров
4. Анализ решения задачи планирования выпуска ковров