Обзор и сравнительный анализ современных математических пакетов. Вычислительные и графические возможности системы MATLAB, а также средства программирования в среде MATLAB. Основные возможности решения задач оптимизации в табличном процессоре MS Excel.
Аннотация к работе
Сюда относится, например, задача организации производства с целью получения максимальной прибыли при заданных затратах ресурсов; задача управления системой гидростанций и водохранилищ с целью получения максимального количества электроэнергии; задача о космическом перелете из одной точки пространства в другую наибыстрейшим образом или с наименьшей затратой энергии; задача о быстрейшем нагреве печи до заданного температурного режима и многие другие задачи. В зависимости от своей постановки, любая из задач оптимизации может решаться различными методами, и наоборот - любой метод может применяться для решения многих задач. Методы оптимизации могут быть скалярными (оптимизация проводится по одному критерию), векторными (оптимизация проводится по многим критериям), поисковыми (включают методы регулярного и методы случайного поиска), аналитическими (методы дифференциального исчисления, методы вариационного исчисления и др.), вычислительными (основаны на математическом программировании, которое может быть линейным, нелинейным, дискретным, динамическим, стохастическим, эвристическим и т.д.), теоретико-вероятностными, теоретико-игровыми и др. Дипломная работа посвящена решению различных задач оптимизации в табличном процессоре MS Excel и в среде MATLAB. Целью дипломной работы является привлечение возможностей табличного процессора MS Excel и системы MATLAB при решении различных задач оптимизации, сюда включаются средства визуализации и средства программирования.Современные математические пакеты можно использовать и как обычный калькулятор, и как средства для упрощения выражений при решении каких-либо задач, и как генератор графики или даже звука. Mathematica, как система программирования, имеет все возможности для разработки и создания практически любых управляющих структур, организации ввода-вывода, работы с системными функциями и обслуживания любых периферийных устройств, а с помощью пакетов расширения появляется возможность подстраиваться под запросы любого пользователя. Работа проходит интерактивно - пользователь вводит команды и тут же видит на экране результат их выполнения (рисунок 2). В таблицы можно вводить любую информацию: текст, числа, даты и время, формулы, рисунки, диаграммы, графики. По умолчанию в окне MS Excel непосредственно под строкой меню отображается панель инструментов Standard (Стандартная) и панель инструментов Formatting (Форматирование).Большинство команд и функций системы реализованы в виде текстовых m-файлов и файлов на языке Си, причем все файлы доступны для модификации. Для того чтобы MATLAB выполнила команду или вычислила выражение, набор любой команды или выражения должен заканчиваться нажатием на кнопку . Для начала ведения журнала служит команда diary.В качестве аргумента команды diary следует задать имя файла, в котором будет храниться журнал работы. Того же самого результата можно добиться, используя функции plot с последовательностью аргументов: переменная x, первая функция, переменная x, вторая функция и т.д. Этой функции необходимо передавать строку, описывающую требуемую функцию в виде f(x), может содержать любые допустимые в MATLAB операции и/или функции.Оптимизация модели производственного плана состоит в поиске максимума (для прибыли) или минимума (для затрат) целевой функции при ограничении на спрос и ресурсы [22]. При решении "стандартной" задачи в линейном программировании нужно определить максимум линейной целевой функции при условиях Формулировка таких задач может представлять собой систему уравнений с несколькими неизвестными и набор ограничений на решения, поэтому решение задачи необходимо начинать с построения соответствующей модели, для чего нужно хорошо понимать взаимосвязи между переменными и формулами. Хотя постановка задачи обычно представляет основную сложность, время и усилия, затраченные на подготовку модели, вполне оправданы, поскольку полученные результаты могут уберечь от излишней траты ресурсов при неправильном планировании, помогут увеличить процент прибыли за счет оптимального управления финансами или выявить наилучшее соотношение объемов производства, запасов и наименований продукции. 3. многие величины в модели по своему физическому смыслу не могут быть отрицательными, например количество полученных единиц товара (это кажется естественным, однако, если не указать данные ограничения, Поиск решения вполне может предложить отрицательные значения в качестве обеспечивающих получение оптимального результата).Для одновременного нахождения минимума функции и значения функции в точке минимума следует использовать следующий синтаксис вызова функции fminbnd: >> [x, y]= fminbnd(@humps, 0.5, 1) x = Для получения информации о числе итераций, которые пришлось осуществить MATLAB для нахождения уточненного результата, необходимо обратиться к функции fminbnd следующим образом: [xmin, val, flag, output] = fminbnd (@humps, 0.5, 1) где output - объект, содержащий полную информацию о процессе нахождения минимума функции. Для вывода на экран числа итераций в
План
Содержание
Введение
1. Программы математического моделирования
1.1 Современные математические пакеты
1.2 Функциональные возможности MS Excel
1.3 Вычислительные возможности среды MATLAB
2 Решение задач оптимизации с применением пакетов прикладных программ
2.1 Решение задач оптимизации с применением MS Excel
2.2 Решение задач оптимизации с применением MATLAB
Заключение
Список использованной литературы
Приложение 1
Приложение 2
Введение
Задачи оптимизации встречаются практически во всех сферах человеческой деятельности, так как любое разумное действие является в определенном смысле и оптимальным. Ведь оно выбрано после сравнения с другими (менее предпочтительными) действиями.
В настоящее время оптимизация находит применение в науке, технике и в любой другой области человеческой деятельности. Сюда относится, например, задача организации производства с целью получения максимальной прибыли при заданных затратах ресурсов; задача управления системой гидростанций и водохранилищ с целью получения максимального количества электроэнергии; задача о космическом перелете из одной точки пространства в другую наибыстрейшим образом или с наименьшей затратой энергии; задача о быстрейшем нагреве печи до заданного температурного режима и многие другие задачи.
Оптимизация - целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях.
Поиски оптимальных решений привели к созданию специальных математических методов и уже в 18 веке были заложены математические основы оптимизации (вариационное исчисление, численные методы и др). Однако до второй половины 20 века методы оптимизации во многих областях науки и техники применялись очень редко, поскольку практическое использование математических методов оптимизации требовало огромной вычислительной работы, которую без ЭВМ реализовать было крайне трудно, а в ряде случаев - невозможно. Если отвлечься от экономического, физического, химического или иного содержания этих задач, то все они сводятся к следующей оптимизационной задаче [1]. Найти минимум (или максимум) функции или функционала на некотором множестве некоторого пространства , т.е.
Здесь выражает качество управления , а множество определяется ограничениями на ресурсы, возможностями экономических или других процессов в изучаемой системе.
В зависимости от своей постановки, любая из задач оптимизации может решаться различными методами, и наоборот - любой метод может применяться для решения многих задач. Методы оптимизации могут быть скалярными (оптимизация проводится по одному критерию), векторными (оптимизация проводится по многим критериям), поисковыми (включают методы регулярного и методы случайного поиска), аналитическими (методы дифференциального исчисления, методы вариационного исчисления и др.), вычислительными (основаны на математическом программировании, которое может быть линейным, нелинейным, дискретным, динамическим, стохастическим, эвристическим и т.д.), теоретико-вероятностными, теоретико-игровыми и др. Подвергаться оптимизации могут задачи, как с ограничениями, так и без них.
Дипломная работа посвящена решению различных задач оптимизации в табличном процессоре MS Excel и в среде MATLAB. Целью дипломной работы является привлечение возможностей табличного процессора MS Excel и системы MATLAB при решении различных задач оптимизации, сюда включаются средства визуализации и средства программирования. В этом заключается новизна данной работы.
В ходе работы над дипломным проектом ставились следующие задачи: · Изучение функциональных возможностей MS Excel.
· Изучение вычислительных возможностей системы MATLAB.
· Изучение графических возможностей системы MATLAB.
· Освоение средств программирования в системе MATLAB.
· Изучение численных методов решения задач одномерной оптимизации.
· Изучение численных методов решения задач многомерной оптимизации.
· Построение математических моделей некоторых экономических задач оптимизации.
· Изучение методов решения построенной математической модели.
· Численная реализация построенной математической модели в табличном процессоре MS Excel.
· Численная реализация методов оптимизации в системе MATLAB.
Табличный процессор MS Excel, являясь лидером на рынке программ обработки электронных таблиц, определяет тенденции развития в этой области. Дополнительные возможности программы облегчают решение сложных прикладных задач. В программу MS Excel встроена удобная подсистема помощи, которая в любой момент готова выдать необходимую справку.
«Простые задачи должны решаться просто». Этому постулату как нельзя лучше отвечают вычислительные возможности программы MS Excel, которые без оговорки можно назвать безграничными. Применение электронных таблиц упрощает работу с данными и позволяет получать результаты без проведения расчетов вручную или специального программирования.
Программа MS Excel позволяет решать сложные задачи, связанные с финансовой и бухгалтерской работой предприятий: проводить широкий круг сложных вычислений в электронных таблицах, легко и быстро анализировать большой объем данных; а также приобретать навыки записи и редактирования макросов, с целью применения их для часто повторяющихся операций и автоматизации работы.
Коммерциализация современной жизни предполагает принятие оптимальных управленческих решений. Оптимизация может быть достигнута только при постановке математического моделирования всех экономических и социальных систем. Оптимизация в модели заключается в максимизации или минимизации какой-либо целевой функции при условии выполнения различных ограничений. Например, предприятию нужно получить максимум прибыли при ограниченных временных, трудовых, материальных и финансовых ресурсах. Многие расчеты могут быть выполнены в оптимизационной программе «Поиск решения», встроенной в MS Excel.
Дипломная работа не предполагает глубокого изучения теории принятия решений или линейного программирования, не выходит за рамки возможностей MS Excel. Одно из направлений исследования в данной работе практическое освоение методов автоматизации расчетов в экономико-математических моделях на примере двух задач производства с применением MS Excel. Второе направление исследования в дипломной работе - применение системы MATLAB для решения задач оптимизации для функций одной и нескольких переменных.
MATLAB - это высокопроизводительный язык для технических расчетов. Он включает в себя вычисления, визуализацию и программирование в удобной для пользователя среде. Типичное использование MATLAB - это: - математические вычисления;
- создание алгоритмов;
- моделирование;
- анализ данных, исследования и визуализация;
- научная и инженерная графика;
- разработка приложений, включая создание графического интерфейса.
Численные методы оптимизации - это новейшие разделы математики, которые получили свое развитие только во второй половине XX века. Многие проблемы в задачах оптимизации остаются актуальными и по сей день. К таким проблемам относится, например, проблема выбора начального приближения к точке экстремума или проблема определения области поиска точек экстремума в задачах нелинейного программирования. Мощные графические средства системы MATLAB позволяют получить трехмерные объемные графики функции в задачах оптимизации. И в таких задачах указанные проблемы решаются графическим способом.
В данном случае имеет место актуальность поставленных в дипломном проекте задач. Дипломная работа состоит из введения, двух разделов, заключения, списка использованной литературы и приложений.
В первом разделе проводится обзор и сравнительный анализ современных математических пакетов; исследуются функциональные возможности табличного процессора MS Excel, в частности, особое внимание уделено возможности решения задач оптимизации при помощи надстройки в MS Excel «Поиск решения»; изучается система MATLAB, как мощное средство решения различных инженерных и прикладных задач. Представлены вычислительные, графические возможности системы MATLAB, а также средства программирования в среде MATLAB.
Во втором разделе решаются следующие задачи: - Сведение задачи производства к задаче линейного программирования.
- Решение полученной задачи линейного программирования в табличном процессоре MS Excel.
- Численная реализация задач одномерной минимизации, задач безусловной и условной минимизации функций многих переменных в системе MATLAB с привлечением графических средств системы.
В заключении подводятся итоги проделанной работы. А именно, в ходе работы над дипломным проектом были решены поставленные задачи. Основным результатом дипломной работы является численная реализация методов оптимизации для функций одной и многих переменных.
В приложении 1 представлено поэтапное решение задачи составление производственного плана с применением табличного процессора MS Excel.
В приложении 2 представлены программы, написанные в среде MATLAB, вычисления точек экстремума функций одной и многих переменных различными методами оптимизации.