Метод Гаусса и одно из его приложений в экономике (простейшая задача о рационе). Модель Леонтьева межотраслевого баланса. Алгебраический метод наименьших квадратов. Анализ данных эксперимента. Метод наименьших квадратов в Excel и аппроксимация данных.
Аннотация к работе
Данная работа посвящена решению задач линейной алгебры в Excel,точнее решению систем линейных уравнений. Будут рассмотрены три метода: метод Гаусса, метод, основанный на нахождении обратной матрицы и метод наименьших квадратов. В первом параграфе работы в качестве примера использования систем линейных уравнений в экономике приведена простейшая задача о рационе и ее решение методом Гаусса в частном случае, когда количество неизвестных совпадает с количеством уравнений.Допустим, на ферме занимаются выращиванием телят. Известно, что для хорошего роста теленка в день ему необходимо потреблять m веществ в количестве ,…, соответственно. На ферму ежедневно завозится n кормов в количестве ,…, .Алгоритм Метода Гаусса состоит из двух основных частей: прямой ход и обратный ход. Прямой ход заключается в том, что система приводится к треугольному виду (верхняя унитреугольная форма). На первом шаге элементарными преобразованиями исключается из всех уравнений, начиная со второго. Второй шаг заключается в исключение из всех уравнений, начиная с третьего. При этом каждый шаг начинается с обработки s уравнения: строка под номером sделится на ,чтобы коэффициент при стал равен 1.Основу информационного обеспечения модели межотраслевого баланса составляет технологическая матрица, содержащая коэффициенты прямых материальных затрат на производство единицы продукции. Величины aij называются коэффициентами прямых материальных затрат и рассчитываются следующим образом: Коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли. Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых материальных затрат А= (aij), вектор-столбец валовой продукции X и вектор-столбец конечной продукции Y: , , то система уравнений в матричной форме примет вид: Х=АХ У. С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчетов: o Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Xi), можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли (Yi): Y = (Е - А)Х (2). o Задав величины конечной продукции всех отраслей (Уг), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Х) o Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых. Элементы матрицы В будем обозначать через bij, тогда из матричного уравнения для любой i-й отрасли можно получить следующее соотношение: Из последних соотношений следует, что валовая продукция выступает как взвешенная сумма величин конечной продукции, причем весами являются коэффициенты bij, которые показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли.Под алгебраическим методом наименьших квадратов понимается метод решения систем линейных уравненийПусть результаты измерений задаются массивом Поскольку минимизируется сумма квадратов, то этот метод называется аппроксимацией данных методом наименьших квадратов. Поставим задачу определения массива так, чтобы величина была минимальна, т.е. определим массив методом наименьших квадратов. Для этого приравняем частные производные по к нулю: Если ввести m ? n матрицу Имеем по определению умножения матрицы на столбецОписан также метод наименьших квадратов и решение системы с прямоугольной матрицей, в которой число уравнений больше, чем число неизвестных. Решение этой системы также свелось к решению методом Гаусса системы с квадратной матрицей, получаемой из исходной системы умножением обеих частей на транспонированную матрицу.
План
Содержание
Введение
1. Метод Гаусса и одно из его приложений в экономике (задача о рационе)
1.1 Простейшая задача о рационе
1.2 Метод Гаусса
1.3 Метод Гаусса в Excel
2. Модель Леонтьева межотраслевого баланса
3. Метод наименьших квадратов (МНК)
3.1 Алгебраический метод наименьших квадратов
3.1.1 Анализ данных эксперимента
3.2 МНК в Excel
Заключение
Список литературы
Введение
Данная работа посвящена решению задач линейной алгебры в Excel,точнее решению систем линейных уравнений. Будут рассмотрены три метода: метод Гаусса, метод, основанный на нахождении обратной матрицы и метод наименьших квадратов.
В первом параграфе работы в качестве примера использования систем линейных уравнений в экономике приведена простейшая задача о рационе и ее решение методом Гаусса в частном случае, когда количество неизвестных совпадает с количеством уравнений.
Во втором параграфе рассматривается модель Леонтьева межотраслевого баланса. Это модель, позволяющая анализировать состояние экономики и моделировать различные сценарии ее развития. Возникающая в этом методе система линейных уравнений традиционно решается нахождением обратной матрицы. Чтобы пояснить, запишем модель Леонтьева в матричной форме: (E-A)*X=Y
Если у нас имеется матрица (Е-А)-1 ,то умножая обе части равенства на эту матрицу, получим: Х=(Е-А)-1*У.
Третий параграф описывает решение задач, сводящихся к решению систем линейных уравнений, при помощи МНК (метода наименьших квадратов).
В каждом параграфе будет приведена реализация в Excel.
1. Метод Гаусса и одно из его приложений в экономике (задача о рационе)
Вывод
В курсовой работе описаны некоторые классические ([4],[7]) методы решения систем линейных уравнений. Описан также метод наименьших квадратов и решение системы с прямоугольной матрицей, в которой число уравнений больше, чем число неизвестных. Решение этой системы также свелось к решению методом Гаусса системы с квадратной матрицей, получаемой из исходной системы умножением обеих частей на транспонированную матрицу.
Следует отметить ( см. [2], [3], [4], [6], [7]), что в современных научных вычислениях в основном фигурируют методы решения больших, т.е. с размерностью более 1000, систем линейных алгебраических уравнений. В указанных книгах описаны существенно более изощренные методы решения алгебраических систем, для реализации которых на Excel’е требуется написание на языке Visual Basic новых макросов. Но, так как для решения больших систем Excel не пригоден в связи с низкой производительностью, то реализация этих методов в Excel не имеет смысла.
Список литературы
[1] Гельман В.Я. Решение математических задач средствами Excel.-Москва-
Санкт-Петербург : Питер,2003.
[2] Каханер Д. Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение.-М.: Мир, 1998.
[3] Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. АЛГОРИТМЫ (построение и анализ). - М.: МЦНМО, 2000.
[4] Райс Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение.- М.: Мир, 1984.
[5] Васильев А.Н. Научные вычисления в Microsoft Excel .- Москва-Киев: Диалектика, 2004.
[6] Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. - М.:Мир, 1980.
[7] Press W.H., Teukolsky S.A., Flannery B.P. Numerical Recipes in C.- Cambridge University Press, 1991.