Общее понятие и характеристика задачи линейного программирования. Решение транспортной задачи с помощью программы MS Excel. Рекомендации по решению задач оптимизации с помощью надстройки "Поиск решения". Двойственная задача линейного программирования.
Аннотация к работе
Требуется определить оптимальный план перевозок продукта, так чтобы потребности во всех пунктах потребления были удовлетворены, а суммарные затраты на транспортировку всей продукции были минимальными. Очевидно, оценочной функцией в данной задаче являются суммарные затраты на транспортировку всей продукции, а ограничениями служат объемы производства и потребности в продукте в каждом пункте потребления. Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из т пунктов отправления А1,А2,…,Ат в п пунктов назначения В1,В2,..,Вп. Обозначим через cij тарифы перевозки единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения, через ai-запасы груза в j-м пункте отправления, через bj-потребности в грузе в j-м пункте назначения , а через xij-количество единиц груза, перевозимого из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения. Поскольку переменные удовлетворяют системам уравнений(2) и (3) и условию неотрицательности (4), то обеспечивается доставка необходимого количества груза в каждый из пунктов назначения (условие (2)), вывоз имеющегося груза из всех пунктов отправления (условие (3)), а также исключаются обратные перевозки (условие (4)).К классу линейного программирования относятся такие задачи однокритериальной оптимизации, в которых переменные являются непрерывными и неотрицательными, целевая функция является линейной функцией своих аргументов, а ограничения могут быть представлены в форме линейных неравенств и равенств. На формирование линейного программирования в качестве самостоятельного направления научно-прикладных исследований наибольшее влияние оказали американские ученые Дж. Хотя необходимость создания специальных методов решения неклассических оптимизационных задач осознавалась и раньше, в частности, экономистами и военными специалистами во времена второй мировой войны, только в послевоенное время были разработаны теоретические основы линейного программирования и предложены специальные методы решения соответствующих практических задач. Собственно термин «линейное программирование» впервые появился в 1951 году в работах Дж. Однако общепризнанно, что первые исследования по линейному программированию, связанные с формулировкой основной задачи, рассмотрением приложений, нахождением критерия оптимальности, экономической интерпретацией, были выполнены в конце 30-х годов ХХ в. в СССР лауреатом Нобелевской премии по экономике Л.В. Канторовичем.При рассмотрении задач линейного программирования, следует помнить что, с одной стороны, они являются специальным случаем общей задачи оптимизации.В общем случае математическая постановка задачи линейного программирования, может быть сформулирована в следующем виде: f(x1,x2…,,x n)® где (1.1) x1,x2…,,x n (1.2) С учетом сделанных предположений общая задача линейного программирования может быть сформулирована следующим образом. В математической постановке общей задачи линейного программирования через сі, aki , bk ({1,2,…,n}),( {1,2,…,m}) обозначены постоянные величины, которые могут принимать произвольные, не обязательно целочисленные значения, определяемые спецификой конкретной задачи линейного программирования. В случае отсутствия ограничений типа равенств (1.4), т.е. при q=0, задача линейного программирования называется стандартной задачей линейного программирования, которая, с учетом сделанных предположений, может быть записана в следующем виде: с1х1 с2х2 … с n x n ® (1.6) где множество допустимых альтернатив формируется следующей системой ограничений типа неравенств: (1.7) и x1,x2…,,x n 0 С другой стороны, при отсутствии ограничений типа неравенств (1.5), т.е. при q=m, задача линейного программирования называется канонической или основной задачей линейного программирования, которая с учетом сделанных предположений, может быть записана в следующем виде: с1х1 с2х2 … с n x n ® (1.8) где множество допустимых альтернатив формируется следующей системой ограничений типа неравенств: (1.9) и x1,x2…,,x n 0.С одной стороны, для решения задачи линейного программирования теоретически может быть использован некоторый аналитический способ решения, применимый для решения задач оптимизации в общей постановке. Однако использование для решения задач линейного программирования аналитического способа решения, основанного, например, на методе множителей Лагранжа, с учетом дифференцируемости целевой функции и ограничений, связано с преодолением серьезных трудностей вычислительного характера. В этом случае, даже для небольшого числа переменных и ограничений, решения задачи линейного программирования сводится к нахождению частных производных функции Лагранжа с последующим решением системы уравнений с большим числом переменных.Заметим, что первые 3 ограничения данной задачи соответствуют общему ограничению (2.2), следующие 4 ограничения-общему ограничению (2.3), а последнее ограничение-общему ограничению (2.5). Для решения сформулированной индивидуальной транспортной задачи с помощью программы MS Excel создадим в книге Линейно
План
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава I Задачи линейного программирования
1.1 Общая характеристика задачи линейного программирования
1.2 Математическая постановка задачи линейного программирования
Глава II Основные методы решения транспортной задачи линейного программирования
2.1 Математическая постановка транспортной задачи
2.2 Решение транспортной задачи с помощью программы Ms Excel
2.3 Рекомендации по решению задач оптимизации с помощью надстройки «Поиск решения»
Глава III Двойственная задача линейного программирования
3.1 Математическая формулировка двойственной задачи линейного программирования
3.2 Математическая постановка двойственной задачи о красках
3.3 Решение двойственной задачи о красках с помощью программы Ms Excel
Заключение
Литература
Введение
Транспортная задача.
В некотором географическом регионе имеется фиксированное число пунктов производства и хранения некоторого однородного продукта и конечное число пунктов потребления этого продукта . В качестве продукта может выступать, например, нефть, уголь, песок, цемент, т.д. Для каждого из пунктов производства и хранения известен объем производства продукта или его запаса. Для каждого пункта потребления задана потребность в продукте в этом пункте потребления.
Требуется определить оптимальный план перевозок продукта, так чтобы потребности во всех пунктах потребления были удовлетворены, а суммарные затраты на транспортировку всей продукции были минимальными.
Рисунок1. Иллюстрация транспортной задачи для двух пунктов производства и трех пунктов потребления
Очевидно, оценочной функцией в данной задаче являются суммарные затраты на транспортировку всей продукции, а ограничениями служат объемы производства и потребности в продукте в каждом пункте потребления.
Данная задача также является одной из классических задач линейного программирования, методы ее решения мы будем рассматривать далее. В бизнес приложениях эта задача известна как задача о перемещении товаров со складов на торговые точки или задача о планировании цепочек поставок. В случае штучного товара, например, телевизоры, компьютеры, пылесосы, автомобили и пр., соответствующая транспортная задача относится к классу задач целочисленного программирования.
Транспортная задача: Уменьшение затрат на перевозку.
В этой работе мы рассмотрим решение классической транспортной задачи Excel 7.0 позволяет находить оптимальное решение, сохраняя заданные ограничения.
Транспортная задача является классической задачей исследования операций. Множество задач распределения ресурсов сводятся именно к этой задаче.
Математическая постановка транспортной задачи.
Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из т пунктов отправления А1,А2,…,Ат в п пунктов назначения В1,В2,..,Вп. При этом в качестве критерия оптимальности обычно берется либо минимальная стоимость перевозок всего груза. Обозначим через cij тарифы перевозки единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения, через ai-запасы груза в j-м пункте отправления, через bj-потребности в грузе в j-м пункте назначения , а через xij-количество единиц груза, перевозимого из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения. Тогда математическая постановка задачи состоит в определении минимального значения функции:
, [1] при условиях: [2]
[3]
[4]
Поскольку переменные удовлетворяют системам уравнений(2) и (3) и условию неотрицательности (4), то обеспечивается доставка необходимого количества груза в каждый из пунктов назначения (условие (2)), вывоз имеющегося груза из всех пунктов отправления (условие (3)), а также исключаются обратные перевозки (условие (4)).
Определение 1. Всякое неотрицательное решение системы линейных уравнений (2) и (3), определяемое матрицей Х=( ) (i=1,…m;j=1,…n), называется планом транспортной задачи.
Определение2. План =( ) (i=1,…m;j=1,…n), при котором функция (1) принимает свое минимальное значение, называется оптимальным планом транспортной задачи.
Обычно исходные данные транспортной задачи записывают в виде (см. таблицу 1.)
Очевидно, общее наличие груза у поставщиков равно: , а общая потребность в грузе в пунктах назначения равна запасу груза в пунктах отправления, т.е.
единиц.
Если общая потребность в грузе в пунктах назначения равна запасу груза в пунктах отправления, т.е.
= , [5]
То модель такой транспортной задачи называется закрытой. Если же указанное условие не выполняется, то модель транспортной задачи называется открытой.
Таблица 1
Теорема 1. Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы запасы груза в пунктах отправления были равны потребностям в грузе в пунктах назначения, т.е. чтобы выполнялось равенство (5)
Пункты отправления Пункты назначения Запасы
… …
… … … … … … …
… … … … … … …
Потребности … …
В случае превышения запаса над потребностью
> , вводится фиктивный (n 1)-й пункт назначения с потребностью
= - и соответствующие тарифы считаются равными нулю: =0 (i=1,…m). Полученная таким образом задача является транспортной задачей, для которой выполняется равенство (5).
Аналогично, при
< , вводится фиктивный (m 1)-й пункт отправления с запасом груза
= - и тарифы пологаются равными нулю: =0 (j=1,…m). Этим задача сводится к обычной транспортной задаче, из оптимального плана которой получается оптимальный план исходной задачи.
Число переменных в транспортной задаче с m пунктами отправления и пунктами назначения равно m n, а число уравнений в системах (2) и (3) равно n m-1. Следовательно, опорный план транспортной задачи может иметь не более n m-1 отличных от нуля неизвестных.
Если в опорном плане число отличных от нуля компонент равно в точности n m-1, то план является невырожденным, а если меньше-то вырожденным.
Для определения опорного плана существует несколько методов. (Как и для всякой задачи линейного программирования, оптимальный план транспортной задачи является и опорным планом). Для определения оптимального воспользуемся средством Поиска решений, реализованного в Excel.
Допустим, что ваша фирма занимается переработкой некоторого сырья на нескольких заводах (потребители-З1,З2,…), расположенных в разных районах города. Сырье поставляется со складов (поставщики-П1,П2,…), расположенных в нескольких городах области. Стоимость сырья одинаковая, однако, перевозка со склада и завода. Потребность заводов в сырье различна, и запасы на каждом складе ограничены. Требуется определить: с какого склада, на какой завод поставлять, сколько сырья для минимизации общих затрат на перевозку.
В нашем примере обозначим заводы З1,З2,З3,З4, а склады П1,П2,П3,П4,П5. Стоимость перевозки измеряется в тенге на тонну груза, а потребность заводов и складские запасы - в тоннах.