Метод половинного деления и простой итерации. Определение скорости сходимости. Основная формула метода касательных. Метод простой итерации с итерационной функцией. Двухшаговый итерационный метод, полученный из метода Ньютона. Решение уравнения в Mathcad.
Аннотация к работе
Министерство образования РФ Кафедра высшей математикиРешить уравнение на интервале [-10;10] с точностью Постановка задачи: Множество значений переменной х, при которых уравнение F(x)=0 является тождеством, называется решением уравнения.Решение задачи отделения корней для непрерывной функции основано на том, что, если функция на концах отрезка [а;Ь] имеет значения разных знаков, то внутри этого отрезка функция проходит через нуль, т.е. содержится корень уравнения. Таким образом, чтобы произвести отделение корней, необходимо разбить область предполагаемого нахождения корней на равные отрезки длиной h и вычислить значение функции на концах отрезка. Если будет выполняться условие F(х)*F(х h) <= 0, то корень внутри отрезка [x;x h]. Блок-схема алгоритма отделения корней приведена на рис. Рис.1 - Блок-схема алгоритма отделения корнейВсе методы предполагают, что предварительно произведено отделение корней и на отрезке находится только один корень. Метод половинного деления состоит в том, что мы уменьшаем длину отрезка та к, что корень остается внутри отрезка; процесс продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной точности. Уменьшение длины отрезка производится самым естественным образом: делением отрезка пополам и выбором той половины, внутри которой находится корень (т.е. на концах которой функция имеет разный знак). Продолжается до тех пор, пока отрезок не станет меньше заданной точности. Блок-схема алгоритма метода дихотомии приведена на рис.Метод простой итерации имеет фундаментальный характер и заключается в замене выберем эквивалентное ему уравнение . Выбрав некоторое нулевое приближение , находим остальные приближения: Сходимость метода Метод простой итерации сходиться в малой определенной окрестности корня. Метод сходиться со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем q. Блок-схема алгоритма метода простой итерации приведена на рис.За начальное приближение X0 выбирается какая-либо точка заданного отрезка, для которой F(a)*F(b)>0. В точке с абсциссой Х0 строится касательная к графику функции. Ее уравнение имеет вид у=кх b , где к=f ‘(X0) , b=f(X0)-f ‘(X0)*X0 . Там где эта касательная пересекает ось ОХ берется следующее приближение - Х1 , y(X1)=0 , KX1 b=0 , X1=(-b)/k , X1=(f ’(X0)*X0-f(X0))/f ‘(X0) , X1=X0-f(X0)/f ‘(X0). Процесс продолжается до тех пор, пока расстояние между двумя последовательными приближениями не станет меньше заданной точности |Х1-Х0|>? , где ? - заданная точность. Метод Ньютона сходится с квадратичной скоростью он является частным случаем метода простой итерации с итерационной функцией ?(X)=X-F(X)/F’(X) .