Последовательность решения линейной краевой задачи. Особенности метода прогонки. Алгоритм метода конечных разностей: построение сетки в заданной области, замена дифференциального оператора. Решение СЛАУ методом Гаусса, конечно-разностные уравнения.
Аннотация к работе
В настоящее время наиболее широкое распространение получили модели на основе интегральных уравнений и модели на основе метода сеток. Основная идея построения модели на основе интегральных уравнений заключается в переходе от исходного дифференциального уравнения в частных производных к эквивалентному интегральному уравнению, подлежащему дальнейшим преобразованиям. Сущность метода сеток состоит в аппроксимации искомой непрерывной функции совокупностью приближенных значений, рассчитанных в некоторых точках области - узлах. Таким образом, получена линейная система n 1 уравнений с n 1 неизвестными представляющими собой значения искомой функции в узлах сетки. Выражая y1 по формуле (2.34), получим: Подставляя это в формулу (2.33), будем иметьИспользуя метод конечных разностей, составить решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с точностью шаг h=0,1.Используя метод конечных разностей, составить решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с точностью Е = 10-3; шаг h = 0,1: Разбив отрезок [0,8; 1,1] на части с шагом h = 0,1, получим 4 узловые точки с абсциссами х0 = 0,8, х1 = 0,9, х2 = 1,0, х3 = 1,1. Исходное уравнение во внутренних точках заменим конечно-разностным уравнением: Из краевых условий составим конечно-разностные уравнения в конечных точках: краевой задача прогонка метод Конечно-разностные уравнения получаем таким образом: Данную задачу сводим к решению системы уравнений: Преобразуя систему и учитывая, что у3 = 1,6 получаем: Для решения полученной системы воспользуемся методом Гаусса: Решение СЛАУ методом Гаусса: Запишем систему в виде расширенной матрицы: 101.67-199.1 98.33 0.9 Для удобства вычислений поменяем строки местами: 0-101.67201-156.33В ходе выполнения данной работы приобретены навыки решения дифференциального уравнения, а также освоены основные аспекты математического моделирования. Математическое моделирование и связанный с ним компьютерный эксперимент незаменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам.
План
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Вывод
В ходе выполнения данной работы приобретены навыки решения дифференциального уравнения, а также освоены основные аспекты математического моделирования. Математическое моделирование и связанный с ним компьютерный эксперимент незаменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, нельзя поставить натурный эксперимент в истории. Невозможно проверить правильность той или иной космологической теории. В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия. Однако все это вполне можно сделать на компьютере, построив предварительно математические модели изучаемых явлений. Поэтому изучение дисциплины «Математическое моделирование» актуально в наши дни.
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Значительное число задач математики, физики и техники приводят к дифференциальным уравнениям в частных производных (уравнения математической физики). Точные решения краевых задач для дифференциальных уравнений удается получить лишь в частных случаях. Поэтому эти задачи решают в основном приближенно. Одним из наиболее универсальных и эффективных методов, получивших в настоящее время широкое распространение для приближенного решения уравнений математической физики, является метод конечных разностей.
В данной работе рассмотрен данный метод решения дифференциального уравнения. Сущность метода сеток состоит в аппроксимации искомой непрерывной функции совокупностью приближенных значений, рассчитанных в некоторых точках области - узлах. Совокупность узлов, соединенных определенным образом, образует сетку. Сетка, в свою очередь, является дискретной моделью области определения искомой функции.1. Апатенок Р.Ф. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - Минск: Высшая школа, 2007 г. - 257 с.