Решение дифференциальных уравнений в частных производных методом функционального программирования в Maple - Курсовая работа

Прикладной математический пакет MAPLE обладает большим набором инструментов для работы с дифференциальными уравнениями в частных производных. Среди них: установление порядка уравнения, исследование на возможность разделения переменных, определение условий поиска решения в виде суммы или произведения функций, получение решения из функций, получаемых командой pdsolve для разделенных уравнений, выполнение замены переменных и различных подстановок и т.п.Проблема решения дифференциальных уравнений в частных производных средствами MAPLE представляет собой программную задачу, сочетающую использование инструментов пакета с необходимыми дополнительными алгоритмами: учет начальных и граничных условий (НУ и ГУ), сложные и, зачастую, нетривиальные преобразования промежуточных результатов (основанные, например, на исследовании асимптотического поведения функций), программное использование дополнительной и/или специальной информации (например, использование рекуррентных соотношений для некоторых специальных функций, которые пока недоступны средствами MAPLE) и т.п. Более того, при решении сложных задач требуется программирование отдельных этапов решения с последующим объединением промежуточных результатов, а также создания комплексов программ (например, при комплексном аналитическом и численном - решении уравнений и различных способах визуализации и интерпретации результатов). Для программирования построения формального решения на входном MAPLE-языке необходим ввод необходимой начальной информации (табл. Типы информации при решении дифференциальных уравнений в частных производных средствами MAPLE Ввод и вывод информации, связанной с текущим контролем выполняемых операций(получение результата для известного частного случая, контроль другими средствами).Заметим, что если ввод и использование основной информации является хорошо разработанным алгоритмом для многих задач, решаемых в MAPLE, то именно программирование, использование дополнительной и рабочей информации, интерпретация промежуточных результатов и их дальнейшее использование при решении уравнений в частных производных представляет собой основную программную задачу. При этом программные средства MAPLE дают возможность построения формализма решения в терминах и обозначениях известных классических подходов к решениям таких задач. Возможно, это и не является необходимым моментом, но может оказаться важным не только с точки методической точки зрения, но и по ряду существенных моментов, включающих апробацию разрабатываемых методов решений, их интерпретацию и применение. Основные типы операций при формальном построении решения дифференциального уравнения в частных производных средствами MAPLE Уравнение на входном MAPLE-языке.В простейших случаях такое количество этапов решения и, следовательно, количество программных позиций, будет достаточно, для многомерных систем число этапов и программных строк может увеличиться. Для одномерных систем представим функциональные алгоритмы построения решений задачи о теплопроводности в бесконечном стержне. Построение общего решения u[lambda](t,x):=(C1(lambda)*sin(lambda*x) Вывод общего решения в развернутом виде и его преобразование u(t,x):=combine(int((C1(lambda)*sin(lambda*x) C2(lambda)*cos(lambda*x))*exp(-lambda^2*a^2*t), lambda=-infinity..infinity));Средства MAPLE позволяют использовать и другие методы решения уравнений. Рассмотрим процедуру построения формальных решений неоднородных уравнений параболического типа методом функций Грина. Основными этапами построения решения этим методом являются: 1) ввод неоднородного уравнения; 6) представление решения в виде суммы решений однородного и неоднородного уравнений; Для неоднородных уравнений представим функциональные алгоритмы построения решений задачи о теплопроводности.К дифференциальным уравнениям с частными производными мы приходим при решении самых разнообразных задач.Функция Грина (функция источника): > G(x,xi,t,tau):=sum(2/L*exp(-a^2*Pi^2*n^2/L^2*(t-tau))*sin(Pi*n*xi/L)*sin(Pi*n*x/L),n = 1 .. infinity); Решение уравнения: > u(t,x):=simplify(sum(int(2/L*exp(-a^2*Pi^2*n^2/L^2*(t-tau))*int(mu*(x-L/2)*sin(x/7)*t*exp(-alpha*t)*sin(Pi*n*xi/L),xi = 0 .. L),tau = 0 .. t)*sin(Pi*n*x/L),n = 1 .. infinity)) assuming n::integer; Представим полученные решения в виде двумерных анимированных графиков: > with(plots): animate(plot,[w(t,x),x=0..L, color=blue],t=0..40,frames=20,thickness=3); Решение уравнения: > u(t,x):=simplify(sum(int(2/L*exp(-a^2*Pi^2*n^2/L^2*(t-tau))*int(mu*exp(-alpha*t)*sin(Pi*n*xi/L),xi = l1..l2),tau = 0 .. t)*sin(Pi*n*x/L),n = 1 ..

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. Построение формального решения на входном Maple-языке

2. Метод разделения переменных

3. Метод функций Грина и другие методы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Типы и форматы графиков.

Пределы изменения переменных.

Заметим, что если ввод и использование основной информации является хорошо разработанным алгоритмом для многих задач, решаемых в MAPLE, то именно программирование, использование дополнительной и рабочей информации, интерпретация промежуточных результатов и их дальнейшее использование при решении уравнений в частных производных представляет собой основную программную задачу.

При этом программные средства MAPLE дают возможность построения формализма решения в терминах и обозначениях известных классических подходов к решениям таких задач. Возможно, это и не является необходимым моментом, но может оказаться важным не только с точки методической точки зрения, но и по ряду существенных моментов, включающих апробацию разрабатываемых методов решений, их интерпретацию и применение.

Таблица 2

Основные типы операций при формальном построении решения дифференциального уравнения в частных производных средствами MAPLE

Тип операции Содержание Выход

1. Ввод уравнения Программная запись уравнения на входном MAPLE-языке. Уравнение на входном MAPLE-языке.

2. Ввод дополнительных данных Программная запись НУ и ГУ. НУ и ГУ на входном MAPLE-языке.

3. Использование средств исследования уравнения суммы или произведения функций. Установление порядка ДУ. Вывод ответов программой.

Исследование возможности разделения переменных.

Определение условий поиска решения в виде.

4. Использование средств преобразования уравнения. Выполнение замены переменных. Вывод преобразованного уравнения.

Выполнение подстановок.

Тип операции Содержание Выход

5. Использование основных инструментов решения уравнения Получение разделенных уравнений по умолчанию с применением команды «pdsolve». Вывод разделенных уравнений.

Получение разделенных уравнений в заданном виде с применением операторов «pdsolve» и «hint».

Получение решения с применением команды «build» (для тех случаев, когда это возможно). Вывод решения уравнения.

6. Использование дополнительных инструментов решения уравнения Учет НУ и ГУ при решении уравнений с применением команды «conds» (для тех случаев,когда это возможно). Вывод решения уравнений с (частичным) учетом НУ и ГУ.

Проверка полученного решения с применением команды «pdetest». Вывод результатов проверки.

7. Решение разделенных уравнений и учет НУ и ГУ на уровне разделенных уравнений Решение задач на собственные значения и собственные функции. Вывод решений разделенных уравнений в общем виде.

Определение собственных значений и собственных функций. Вывод собственных функций

Определение коэффициентов разложения.

8. Построение частного решения Получение частного решения исходного уравнения с учетом исходной факторизации при разделении переменных и коэффициентов разложения. Вывод частного решения

9. Построение общего решения Построение общего решения как суперпозиции частных решений. Вывод общего решения

Учет НУ и определение оставшихся коэффициентов разложения

На основе этих операций можно сформулировать программные алгоритмы построения формальных решений в виде бесконечных рядов, которые необходимо исследовать на сходимость и дифференцируемость. Конечно, операции и действия могут меняться в зависимости от размерности задачи, типов начальных и граничных условий, а также от метода построения решения. Затем (в зависимости от конкретной ситуации) полученные средствами MAPLE решения можно визуализировать и исследовать с целью их интерпретации.К дифференциальным уравнениям с частными производными мы приходим при решении самых разнообразных задач. Например, при помощи дифференциальных уравнений с частными производными можно решать задачи теплопроводности, диффузии, многих физических и химических процессов.

Курсовая работа посвящена именно решению дифференциальных уравнений в частных производных методом функционального программирования в прикладном математическом пакете Maple.

Были рассмотрены основные этапы реализации решений уравнений математическими методами, такими как метод разделенных переменных и метод Грина. Показаны решения уравнений параболического типа, и в приложении приведены примеры решения неоднородных уравнений методом функции Грина.

1. Араманович И.Г., Левин В.И.. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1964.

2. Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. -С-Пб: Питер, 2004.

3. Сдвижников О.А., Математика на компьютере: Maple8. М.:Солон-Пресс, 2003. -176 с.

4. Тихоненко А.В. Компьютерные математические пакеты в курсе «Линейные и нелинейные уравнения физики». Часть 2. Параболические уравнения в MAPLE. - Обнинск: ИАТЭ, 2005.- 80 с.