Перевірка гіпотези Р.С. Ісмагілова, яка стосується незвідності регулярних представлень різних нескінченновимірних груп та мір. Вивчення алгебр фон Неймана, породжених регулярним представленнями нескінченновимірних груп. Поширення гіпотези Р.С. Ісмагілова.
Аннотация к работе
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наукРобота виконана в Інституті математики НАН України. Науковий консультант доктор фізико-математичнх наук, професор, академік НАН України Березанський Юрій Макарович, Інститут математики НАН України, головний науковий співробітник відділу функціонального аналізу. “КПІ”, завідувач кафедри математичного аналізу та теорії ймовірностей; доктор фізико-математичних наук, професор доктор фізико-математичних наук, Кочубей Анатолій Наумович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу нелінійного аналізу;Гельфанда зіграли вирішальну роль в теорії представлень груп взагалі та в теорії представлень нескінченновимірних груп зокрема. Представлення таких груп вивчались також К.Р. Неретіна стосується теорії представлень таких нескінченновимірних груп: груп дифеоморфізмів деяких многовидів, груп, ассоційованих з алгеброю Вірасоро чи з алгебрами Каца-Муді, нескінченної групи перестановок S?, груп операторів в гільбертовому просторі, груп струмів і, нарешті, груп автоморфізмів вимірних просторів. Аналог регулярного представлення для довільної нескінченновимірної груп G, яке використовує G-квазіінвариантну міру на деякому поповненні G групи G, вперше визначено автором в його канд. дис. Ісмагіловим в його відзиві опонента на кадидатську дисертацію автора і стосувалась групи G=B0N та довільної гаусівської продакт-міри на групі G=BN.Теорема 2.1.1 Праве регулярне представлення TR,b групи B0N незвідне тоді і тільки тоді, коли ніякі ліві зсуви Lt, t B0N?e, не є допустимими для міри ?b, b B, тобто (?b)Lt ?b для всіх t B0N\{e}. Нехай M=AR(G) - алгебра фон Неймана, породжена представленням TR,? групи G: AR=(TR,?t|t G)"". Теорема 2.1.2 Незвідні представлення TR,b(1) та TR,b(2) еквівалентні тоді і тільки тоді, коли міри ?b(1) та ?b(2) еквівалентні. В цьому випадку праве регулярне представлення TR,? групи B0N незвідне тоді і тільки тоді, коли ніякі ліві зсуви не є допустимими для міри ?: Теорема 2.3.1. Права дія R групи G коректно означена на просторі Xm, точніше, якщо ми розглянемо розклад x=xm?xm: BN?x?xm?xm?Gm?Gm, то права дія R групи B0N на просторі Xm означена в такий спосіб: Означимо міру ?m:=?BM на просторі Xm?Gm формулою ?BM=?n=2??B(n), де ?B(n) є гаусівська міра на просторі Rm для n>m (відп. на просторі Rn-1 для 2?n?m) означена так (8) де B(n) додатно означений оператор в просторі Rm (чи Rn-1 ), x=(x1n,x2n,...,xmn), dx є мірою Лебега на просторі Rm та C(n)=(B(n))-1.В роботі введено аналоги понять регулярного, квазірегулярного та індукованого представлень, добре відомі для локально компактних груп, для на широкого класу нескінченновимірних груп. Ісмагілова не виконується для регулярного та квазірегулярного представлення групи B0N(Fp) верхньотрикутних матриць над скінченним полем Fp, а також знайдено критерій незвідності відповідних представлень і в цьому випадку. Вивчено алгебри фон Неймана, породжені регулярним представленням нескінченновимірних груп. Доведено аналог теореми Діксмє про опис комутанта алгебри фон Неймана, породженої правим регулярним представленням нескінченновимірних груп G. Знайдено умови для того, щоб алгебра фон Неймана, породжена регулярним представленням групи G була фактором для груп верхньотрикутних матриць нескінченного порядку G=B0N - нескінченних в одну сторону, а також G=B0Z - нескінченних в обидві сторони матриць.