Математическое обоснование возможности реализации транзитивной подгруппы G симметрической группы S на n символах в виде группы Галуа некоторого тринома степенной функции над полем рациональных чисел при заданных значениях n от 3 до 7 включительно.
Аннотация к работе
Известно, что не каждая конечная группа может быть реализована над полем рациональных чисел как группа Галуа некоторого бинома. В связи с этим возникает более общий вопрос: пусть дана конечная транзитивная подгруппа G симметрической группы S на n символах; можно ли эту группу G реализовать как группу Галуа некоторого тринома степени n над полем рациональных чисел? В рассматриваемой статье доказано, что всякую транзитивную подгруппу группы S можно реализовать в виде группы Галуа некоторого конкретного неприводимого над полем рациональных чисел тринома степени n для значений n = 2, 3, 4. В случае n = 7 реализуются все транзитивные подгруппы группы S, кроме возможно одной группы изоморфной диэдральной группы D. Дальнейшие вычисления будут направлены на реализацию конкретных групп Галуа для n = 8, 9…, однако количество транзитивных подгрупп группы S при n = 8, 9… очень быстро растет, поэтому чем больше значение n, тем сложнее реализовать не то что все, а конкретную подгруппу группы S в виде тринома над Q.Сейчас, по крайней мере, на данный момент, реализованы все группы Галуа подгруппы Sn для 3?n?15, но неизвестно, какие группы из них реализуются в виде триномов. Например, если с = 1, b = 1, то b = 8, a =-12, т.е. таким образом можно получить бесконечно много примеров - триномов с группой Галуа A3 и естественно с S3 (ее реализовать еще проще): Gal(x3-12x 8) A3 Реализуем вначале группу A4 таким образом: т.е. необходимыми и достаточными условиями для того, чтобы группа Галуа была изоморфна A4, являются 2 условия, а именно: дискриминант полинома f(x) есть квадрат в поле Q и кубическая резольвента r(f) неприводима в Q [x]. Для этого случая имеются ровно 16 транзитивных подгрупп группы S6, это: сама симметрическая группа 720-го порядка S6, альтернативная группа 120-го порядка А 6, еще одна группа 120-го порядка PGL(2,5) (простая), разрешимая группа 48-порядка G48, две разрешимые группы 36-го порядка и , три разрешимые группы 24-го порядка G24, S4/V4 и S4/C4, разрешимая группа 18 порядка G18, две разрешимых групп 12 порядка D6 (диэдральная группа) и альтернативная группа A4 и две разрешимых групп 6-го порядка S3 и С6. Триномы нечетной степени (больше 3) этого вида не могут иметь в качестве группы Галуа группу Cn (n > 3), так как у этих триномов обязательно имеется либо один, либо три вещественных корня (всех пяти корней не вещественных, ни мнимых мы не получим), однако для четных степеней и для этого вида тринома (x2n ax b) это возможно, ввиду того, что эти триномы могут иметь все шесть корней мнимых и какие-то пять из них выражаются через один).