Розробка алгебраїчних методів класичного групового аналізу диференціальних рівнянь. Конструктивний метод розв"язання цієї задачі з частинними похідними. Групова класифікація квазілінійного рівняння еволюційного типу в двовимірному просторі–часі.
Аннотация к работе
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наукУ той же час точні розвязки (в замкненому вигляді) диференціальних рівнянь завжди відігравали і продовжують відігравати велику роль у формуванні правильного розуміння якісних особливостей багатьох явищ і процесів в різних областях природознавства. У цьому випадкові для аналізу і побудови точних розвязків рівняння можна використовувати методи групового аналізу диференціальних рівнянь. Однією з основних задач класичного групового аналізу диференціальних рівнянь є вивчення дії групи перетворень, яку допускає дане диференціальне рівняння (система рівнянь), на множині розвязків рівняння. Саме повний опис таких специфікацій довільного елемента даного диференціального рівняння, для яких це рівняння допускає найбільш широкі групи інваріантності, і складає суть задачі групової класифікації диференціальних рівнянь. Для цього поряд з класичними методами групового аналізу диференціальних рівнянь, відомими методами інтегрування звичайних диференціальних рівнянь та рівнянь з частинними похідними, використовуються новий підхід до групової класифікації диференціальних рівнянь та лінійна конструкція конформно-інваріантних анзаців для довільного векторного поля, яким відповідає редукція конформно-інваріантних систем диференціальних рівнянь з частинними похідними до систем звичайних диференціальних рівнянь.Подальший огляд і аналіз робіт, в яких досліджувалася групова класифікація нелінійних рівнянь вигляду (1), показав, що повністю ця задача була розвязана лише для рівнянь, які містять довільні функції одного аргументу, оскільки класичний метод розвязування задачі групової класифікації (метод Лі-Овсяннікова) є ефективним у тих випадках, коли вдається здійснити повний аналіз деякого класифікуючого співвідношення (як правило, це є звичайне диференціальне рівняння або система звичайних диференціальних рівнянь для визначення значень функцій, що входять в досліджуване рівняння). Основна відмінність запропонованого методу від методу Лі-Овсяннікова полягає у тому, що в класичному методі на чільному місці знаходяться специфікації довільних функцій, від яких приходять до відповідних їм алгебр Лі операторів симетрії, а в запропонованому методі вирішальну роль в груповій класифікації відіграють саме алгебри Лі операторів симетрії (реалізації алгебр Лі), які і визначають відповідні специфікації довільних функцій в досліджуваному рівнянні. Група симетрії рівняння (3) генерується інфінітезимальними операторами вигляду, де функції a, b, f, F задовольняють рівність У випадку довільного значення функції G максимальною алгеброю інваріантності цього рівняння є така реалізація алгебри sl(2,R): Також тут отримано ще 27 нееквівалентних нелінійних рівнянь вигляду (3), максимальними алгебрами інваріантності яких є тривимірні розвязні алгебри Лі операторів симетрії. З точністю до еквівалентності нелінійні рівняння вигляду (3), які допускають алгебри інваріантності, ізоморфні алгебрам Лі операторів симетрії з нетривіальним розкладом Леві, вичерпуються рівнянням Бюргерса , максимальна алгебра інваріантності якого є ізоморфною алгебрі .Автором вперше одержано такі наукові результати: Запропоновано й обгрунтовано новий конструктивний метод розвязування задачі групової класифікації диференціальних рівнянь. Побудовано універсальну лінійну конструкцію конформно-інваріантних анзаців для довільного векторного поля, яким відповідає редукція конформно-інваріантних систем диференціальних рівнянь з частинними похідними до систем звичайних диференціальних рівнянь. Здійснено повну процедуру симетрійної редукції SU(2) рівнянь Янга-Міллса в просторі Мінковського до систем звичайних диференціальних рівнянь за підгрупами групи Пуанкаре та розширеної групи Пуанкаре. Отримано багатопараметричні сімї точних розвязків SU(2) рівнянь Янга-Міллса в просторі Мінковського. Запропонований в роботі метод групової класифікації диференціальних рівнянь дозволяє розширити коло рівнянь, для яких повне розвязання задачі групової класифікації є конструктивним.