Изучение истории развития геометрии, анализ постулатов Евклида, аксиоматики Гильберта, обзор других систем аксиом геометрии. Характеристика неевклидовых геометрий в системе Вейля. Элементы сферической геометрии. Различные модели плоскости Лобачевского.
Аннотация к работе
Теория флогистона стала химией, а самозарождение мышей из грязи обернулось биологией. Участь эта не обошла и геометрию. Традиционная Евклидова геометрия переросла в неевклидову, геометрию Лобачевского. В своем реферате я хочу показать, что кроме геометрии, которую изучают в школе (Геометрии Евклида или употребительной геометрии), существует еще одна геометрия, геометрия Лобачевского. Эта геометрия существенно отличается от евклидовой, например, в ней утверждается, что через данную точку можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной прямой, что сумма углов треугольника меньше 180?? В геометрии Лобачевского не существует прямоугольников, подобных треугольников и так далее.Древнегреческий ученый Эдем Родосский в IV веке до нашей эры писал: «Геометрия была открыта египтянами, и возникла при измерении Земли. Считается, что геометрия началась в так называемой Ионийской школе. Ее основателем считается Фалес Милетский (640-540 (546?) гг. до н. э.). Он доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что вертикальные углы равны, что диаметр делит окружность пополам и еще множество теорем. Как наука, геометрия впервые сформировалась в Древней Греции, когда геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее опытным путем, были приведены в надлежащую систему и доказаны.Между тем уже с древности именно постулат о параллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавших неестественным помещение его среди постулатов. Одни математики старались доказать постулат о параллельных, применяя только другие постулаты и те теоремы, которые можно вывести из последних, не используя сам V постулат. С помощью этого принципа Хайям доказывает, что в четырехугольнике ABCD, в котором углы при основании А и В - прямые и стороны АС, BD равны, углы С и D так же прямые, а из этого предложения о существовании прямоугольника выводится V постулат. Так, Хайям, по существу, установил эквивалентность постулата и предложения о сумме углов треугольника, а Валлис показал, что не только из V постулата можно вывести учение о подобии, но и обратно - их евклидова учения о подобии следует V постулат. Один из обнадеживающих способов подхода к доказательству пятого постулата, которым пользовались многие геометры XVIII и первой половины XIX веков, состоит в том, что пятый постулат заменяется его отрицанием или каким-либо утверждением, эквивалентным отрицанию.С целью использования привычной для нас геометрической лексики договоримся отождествлять между собой следующие выражения: 1) «точка А принадлежит прямой a (плоскости ?)», 2) «прямая а (плоскость ?) проходит через точку А» 3) «точка А лежит на прямой а (плоскости ?)» 4) «точка А является точкой прямой а (плоскости ?)» и тому подобные. Если А, В и С - три точки, не лежащие на одной прямой, и а - некая прямая в плоскости, определяемой этими точками, не содержащая ни одной из указанных точек и проходящая через некоторую точку отрезка АВ, то эта прямая проходит также либо через некоторую точку отрезка АС, либо через некоторую точку отрезка ВС. Выбрав на прямой а две различные точки О и Е, мы можем теперь определить порядок следования точек на прямой по следующему правилу: 1) если А и В - любые точки луча ОЕ, то будем говорить, что А предшествует В, если А лежит между О и В, 2) будем говорить, что точка О предшествует любой точке луча ОЕ, 3) будем говорить, что любая точка, принадлежащая той же прямой и не принадлежащая лучу ОЕ, предшествует как точке О, так и любой точке луча ОЕ, 4) если А и В - любые точки, не принадлежащие лучу ОЕ, то мы будем говорить, что А предшествует В, если В лежит между А и О. Каждая прямая а, принадлежащая плоскости ?, разделяет не лежащие на ней точки этой плоскости на два непустых класса так, что любые две точки А и В из разных классов определяют отрезок АВ, содержащий точку прямой а, а любые две точки А и А’ из одного класса определяют отрезок АА’, внутри которого не лежит ни одна точка прямой а. Если А и В - две точки на прямой а, А’ - точка на той же прямой или на другой прямой а’, то по данную от точки А’ сторону прямой а’ найдется, и притом только одна, точка В’ такая, что отрезок А’B’ конгруэнтен отрезку АВ.Требуется, чтобы указанное отношение для точек на прямой удовлетворяло нижеследующим пяти аксиомам. При фиксированном направлении на прямой точка А разбивает ее на две части (полупрямые), для каждой точки Х одной из них Х <А, а для каждой точки Х другой полупрямой А <X. Если для точки С прямой а выполняется условие А <C <В или В <C <А, то мы будем говорить, что точка С лежит между точками А и В. Прямая а, лежащая в плоскости ?, разбивает эту плоскость на две полуплоскости так, что если X и Y - две точки одной полуплоскости, то отрезок XY не пересекается с прямой а, если же X и Y принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок XY пересекается с прямой а. Тогда существует движение, которое переводит точку А в В, заданную полупрямую прямой а, определяемую точкой А, - в заданную полупрямую прямой b, определ
План
Оглавление
Введение
Глава I. Развитие геометрии
1.1 История геометрии
1.2 Постулаты Евклида
1.3 Аксиоматика Гильберта
1.4 Другие системы аксиом геометрии
Глава II. Неевклидовы геометрии в системе Вейля
2.1 Элементы сферической геометрии
2.2 Эллиптическая геометрия на плоскости
2.3 Геометрия Лобачевского в системе Вейля
2.4 Различные модели плоскости Лобачевского. Независимость 5-го постулата Евклида от остальных аксиом Гильберта
Заключение
Список литературы
Введение
Любая теория современной науки считается единственно верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки.
Этот факт многократно подтверждался. Физика Ньютона переросла в релятивистскую физику, а та в квантовую. Теория флогистона стала химией, а самозарождение мышей из грязи обернулось биологией. Такова судьба всех наук, и нельзя сказать, что сегодняшнее открытие через двадцать лет не окажется грандиозной ошибкой. Но это тоже нормально - еще Ломоносов говорил: «Алхимия - мать химии: дочь не виновата, что ее мать глуповата».
Участь эта не обошла и геометрию. Традиционная Евклидова геометрия переросла в неевклидову, геометрию Лобачевского. Именно этому разделу математики, его истории и особенностям и посвящен этот проект.
В своем реферате я хочу показать, что кроме геометрии, которую изучают в школе (Геометрии Евклида или употребительной геометрии), существует еще одна геометрия, геометрия Лобачевского. Эта геометрия существенно отличается от евклидовой, например, в ней утверждается, что через данную точку можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной прямой, что сумма углов треугольника меньше 180?? В геометрии Лобачевского не существует прямоугольников, подобных треугольников и так далее.
Я выбрал данную тему по нескольким причинам: теория геометрии Лобачевского помогает взглянуть по-другому на окружающий нас мир, это интересный, необычный и прогрессивный раздел современной геометрии, она дает материал для размышлений - в ней не все просто, не все ясно с первого взгляда, чтобы ее понять, нужно обладать фантазией и пространственным воображением. Ситуация с геометрией Лобачевского и геометрией Евклида во многом похожа на ситуацию с Теорией относительности Эйнштейна и классической физикой. Геометрия Лобачевского и ОТП Эйнштейна это прогрессивные взаимосвязанные теории, выполняющиеся на огромных величинах и расстояниях, и остающимися верными на приближениях к нулю. В пространственной модели ОТП используется не обычная евклидовая плоскость, а искривленное пространство, на котором верна теория Лобачевского.