Сравнение графиков заданной функции и интерполяционных полиномов на определенном интервале при двух вариантах выбора узлов (равномерно с шагом, по Чебышеву). Создание программы на основе метода Ньютона для построения графиков и расчета значений функции.
Аннотация к работе
Сравнить графики заданной функции f(x) (см. рис. 1) и интерполяционных полиномов Pn(x) для n = 2, 6, 14 на интервале при двух вариантах выбора узлов: a.Интерполяция - один из вариантов аппроксимации, иными словами замены исходной функции другой, близкой функцией, удобной для проведения расчетов. Для построения интерполяционных полиномов Лагранжа используют следующие расчетные формулы, где Ln(x) - полином Лагранжа степени n: где ук - значение исходной функции в узле k, k = 0чn; где xi-узлы, на которых строится интерполяционный полином, i = 0чn.Для нахождения узлов с равномерным шагом используется формула: где i - номер узла, xi - i-ый узел, с - начальная точка интерполяции, d - конечная точка интерполяции, n-общее количество выбираемых узлов. i от 1 до n 11) Дано: 2) Построение заданной функции посредством matlab 3) Формирование массива узлов через равномерный шаг 4) Нахождение соответствующих значений функции для узлов 5) Расчет значений полинома Ньютона в узлах через равномерный шаг Описание функций программы: Основные функции и переменные, использованные в реализованной программе: r = raznost(x,y) - функция расчета разделенных разностей для полинома Ньютона newton(x,y,xn) - функция расчета полинома Ньютона y = ff(x,c,d,a,b) - построение заданной функции xch - расчет узлов Чебышева xrav - расчет равномерных узлов ych - значения в узлах Чебышева yrav - значения соответствующие равномерным узлам n - количество узлов plot(x,y) - построение графика subplot(1,2,1) - подграфик номер один(из двух в окне)for i = 1:s 1 z(i) = c (i - 1) * (d - c)/s ;% z(i) = c (i - 1) * (d - c)/s;% абсциссы end yu1 = ff(z, c, d, a, b);% ординаты for i = 1:n 1% цикл xrav(i) = c (d - c) * (i - 1)/n;% 3) узлы посчитанные методом равномерного шага end yrav = ff(xrav, c, d, a, b);% 4) значения узлов равномерного шага for k = 1:length(z) yravn(k) = newton(xrav, yrav, z(k));% 5) значения многочлена Ньютона в узлах end hold on;% построение исходной функции plot(xrav, yrav, "-о"); title("Равномерный Ньютон");hold on; % 8) переходим к методу Чебышева for i = 1:n 1 xch(i) = (c d)/2 ((d - c)/2) * cos(((2 * i - 1) * pi)/(2 * (n 1)));% узлы посчитанные методом Чебышева end ych = ff(xch, c, d, a, b);% 9) значения узлов для Чебышева hold on;%построение исходной функции for k = 1:length(z) ychn(k) = newton(xch, ych, z(k));% 10) значения многочлена Ньютона в узлах Чебышева end grid on; title("Ньютон по Чебышеву");hold on;Проведем отладку и тестирования для следующего количества узлов интерполирования: n = 1,5,13. n = 1 n = 5 n = 13В результате тестирования можно сделать вывод, что при 5 и 13 узлах интерполирования метод Чебышева дает наиболее точный результат, чем метод равномерных узлов (погрешность меньше). При увеличении числа узлов для метода Чебышева при количестве узлов, стремящемся к бесконечности, погрешность стремится к нулю, при этом, при достаточно большом количестве узлов погрешность больше, чем при маленьком числе узлов.Также была проведена отладка и тестирование программы, исследованы результаты тестирования, а именно зависимость погрешности интерполяционного полинома от количества узлов интерполирования и от способа выбора узлов.
План
Содержание
1. Постановка задачи
2. Исследование методов решения
2.1 Методы интерполяции
2.2 Методы нахождения узлов
3. Разработка алгоритма
4. Исходный код
5. Тестирование программы
6. Исследование
Выводы
1. Постановка задачи
Вывод
В ходе работы была реализована программа, выполняющая интерполирование методом Ньютона.
Также была проведена отладка и тестирование программы, исследованы результаты тестирования, а именно зависимость погрешности интерполяционного полинома от количества узлов интерполирования и от способа выбора узлов.
По результатам тестирования можно сделать вывод о большей точности метода Чебышева, так как при большом количестве узлов, точность метода возрастает.