Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса. Метод последовательного исключения неизвестных. Решение системы методом прогонки. Математическое моделирование самых разнообразных процессов с применением ЭВМ.
Аннотация к работе
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ Факультет математики и информационных технологийХотя задача решения системы линейных уравнений сравнительно редко представляет самостоятельный интерес для приложений, от умения эффективно решать такие системы часто зависит сама возможность математического моделирования самых разнообразных процессов с применением ЭВМ. Значительная часть численных методов решения различных (в особенности - нелинейных) задач включает в себя решение систем линейных уравнений как элементарный шаг соответствующего алгоритма. Хотя объем оперативной памяти вновь создаваемых вычислительных машин растет очень быстро, тем не менее, еще быстрее возрастают потребности практики в решении задач все большей размерности. К счастью, приложения очень часто приводят к матрицам, в которых число ненулевых элементов много меньше общего числа элементов матрицы. Цель заданной работы - освоить решение систем линейных алгебраических уравнений методом прогонки, а также создание прикладной программы выполняющей решение систем линейных алгебраических уравнений методом прогонки.Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа: На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путем элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме , либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получавшуюся после перестановки первую строку из остальных строк, помножив ее на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Система уравнений для определения коэффициентов сплайна представляет собой частный случай систем линейных алгебраических уравнений с трех диагональной матрицей , т.е. с матрицей, все элементы которой, не лежащие на главной и двух побочных диагоналях, равны нулю при та После того, как прогоночные коэффициенты найдены, решение системи (1), (2) находится по рекуррентной формуле (3), начиная с Для начала счета по этой формуле требуется знать , которое определяется из уравненийДана система: Преобразуем в матрицу: Чтобы было легче работать, умножим каждый член матрицы на 100: Преобразуем матрицу, умножив вторую строку на 3 и вычтем из третью строку: Получим: Далее, умножим первую строку на 5 и вычтем 21 умноженную на третью строку Найдем сумму третьей строки умноженной на 92 и второй строки умноженной на 185 В результате преобразований данная система приводится к треугольному виду: из последнего уравнения находим z: подставляя это значение во второе уравнение, получаем: из первого уравнения, подставив полученные значения, получим: Выполним проверку подставим полученные значения x,y,z в первую строку данной матрицы: 0,63*0,376 0,05*0,777 0,15*0,427=0,34 третью строку умножим на 5 и вычтем из нее третью строку: Мы преобразовали матрицу к виду: Вычислим значения прогоночных коэффициентов и : т.к =0 Вычислим значение : Подставив в формулу значение , вычислим значение : Подставив в формулу значение , вычислим значение : ГЛАВА 3.Хотя задача решения системы линейных уравнений сравнительно редко представляет самостоятельный интерес для приложений, от умения эффективно решать такие системы часто зависит сама возможность математического моделирования самых разнообразных процессов с применением ЭВМ. Значительная часть численных методов решения различных (в особенности - нелинейных) задач включает в себя решение систем линейных уравнений как элементарный шаг соответствующего алгоритма. Простейшие численные методы мы используем всюду, например, извлекая квадратный корень на листке бумаги. Есть задачи, где без достаточно сложных численных методов не удалось бы получить ответа; классический пример - открытие Нептуна по аномалиям движения Урана.