Психолого-педагогический анализ старшего школьного возраста. Математическое мышление, элективные курсы в обучении. Определение эллипса и гиперболы, основанное на их свойстве по отношению к директрисам. Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе.
Аннотация к работе
Применительно к математике можно сказать, что сам процесс ее изучения должен приводить к умению логически доказательно мыслить, умению отрываться от стереотипных действий, творчески подходить к решению задачи. Существует немало школ, в которых на уроке математики большинство задач решается по определенным алгоритмам, и быстрота их решения зависит от знания учениками формул и умения их применять. Многие этапы решения таких задач у учеников приобретают автоматический характер, и они не задумываются над каждым из них. Можно выделить следующие причины механического запоминания ряда действий при решении задач: выбор метода решения не вызывает трудностей и сомнений; Учащиеся очень быстро перестают применять изученные определения, теоремы, сокращая обоснование решения задачи.Как правило, к концу этого периода юноши и девушки обычно достигают физической зрелости. Завершается период бурного роста и развития организма, наступает относительно спокойное время дальнейшего физического развития. Заметно нарастает мышечная сила и работоспособность, заканчивается формирование и функциональное развитие тканей и органов. Высокого уровня развития достигают волевые качества: самостоятельность, инициативность, настойчивость, выдержка. Авторитетом в классе пользуются учащиеся, имеющие проницательный ум, способные за видимыми фактами находить скрытые причины, предвидеть, строить смелые предположения.Познавательные процессы (восприятие, память, мышление, воображение) входят как составная часть в любую человеческую деятельность и обеспечивают ту или иную ее эффективность. Когда говорят об общих способностях человека, то также имеют в виду уровень развития и характерные особенности его познавательных процессов, ибо, чем лучше развиты у человека эти процессы, тем более способным он является, тем большими возможностями он обладает. Поэтому уровень развития познавательных возможностей человека зависит не только от полученных при рождении задатков (хотя они играют значительную роль в развитии познавательных процессов), но в большей мере от характера воспитания ребенка в семье, в школе, от собственной его деятельности по развитию интеллектуальных способностей. Только в этом смысле можно рассматривать отдельно такие психические процессы, как восприятие, память, мышление, воображение. Мышление представляет собой активную целенаправленную деятельность, в процессе которой осуществляется переработка имеющейся и вновь поступающей информации - анализ и синтез.В работе был разработан элективный курс по теме: «Кривые второго порядка», который предназначен для учащихся 10-11 классов. В ходе написания работы были достигнуты следующие цели, поставленные в ведении: был проведен анализ учебников по геометрии за 10-11 классы с целью изучения места кривых второго порядка в курсе старшей школы. Как средство расширения кругозора учащихся и повышения интереса к предмету был разработан элективный курс, который направлен на расширение кругозора учащихся, развитие математического мышления, формирования активного познавательного интереса к предмету, формирования умения последовательно рассуждать, анализировать факты, обобщать их, формирования представления о прикладных возможностях математики, содействовать профессиональной ориентации учащихся.В декартовой системе координат, как хорошо известно, окружность радиуса R c центром C (a; b) задается уравнением (x2 - a2) (y2 - b2) = R2. Если сжать окружность с центром в начале координат к вертикальному диаметру с коэффициентом k > 0, то получится линия с уравнением k2x2 y2 = R2 (1), которая называется эллипсом. Отметим еще, возвращаясь к уравнению (1), что окружность - это эллипс, где k = 1. Из уравнений видно, что эллипс - линия, симметричная относительно обеих осей координат, а значит, и центрально-симметричная. Вокруг эллипса естественным образом описывается прямоугольник со сторонами, равными осям эллипса и параллельными координатным прямым, который является результатом сжатия квадрата, описанного вокруг исходной окружности.Гипербола не только является центрально-симметричной линией (как график нечетной функции), но и имеет две оси симметрии - это биссектрисы пар вертикальных координатных углов (рис. Рассмотрим уравнение x2 - y2 = l и покажем, что линия, задаваемая им - это тоже гипербола. Уравнение при этом преобразуется в уравнение uv = l, которое равносильно уравнению ибо равенство означало бы , и, значит, В зависимости от знака числа l мы можем изобразить ветви гиперболы в соответствующих координатных четвертях системы , тем самым будет получено изображение гиперболы, задаваемой уравнением в системе координат . Если произвести сжатие к оси Ох с коэффициентом k > 0, k ? 1, то гипербола преобразуется в линию, также называемую гиперболой, но о такой гиперболе говорят, что она неравнобокая. Уравнения (3) и (4) называются каноническими уравнениями, а гиперболы, заданные этими уравнениями, называются сопряженными, а и b - стороны осевого прямоугольника.
Введение
В настоящее время можно отметить возрастание таких мотиваций к обучению как стремление к более глубокому образованию. Поэтому эффективность обучения является одним из важнейших показателей обучения. Она заключается в том, как обеспечивается в процессе обучения психическое развитие ребенка и, в частности, развитие его мыслительных способностей. Следовательно, на уроке по любому предмету, в процессе обучения, необходимо развивать мышление учащихся. Применительно к математике можно сказать, что сам процесс ее изучения должен приводить к умению логически доказательно мыслить, умению отрываться от стереотипных действий, творчески подходить к решению задачи.
Существует немало школ, в которых на уроке математики большинство задач решается по определенным алгоритмам, и быстрота их решения зависит от знания учениками формул и умения их применять. При этом основное усложнение задачи производится за счет увеличения числа действий, увеличения чисел и т.п. Многие этапы решения таких задач у учеников приобретают автоматический характер, и они не задумываются над каждым из них. Отсюда нерациональное, а иногда и неправильное решение задачи.
Можно выделить следующие причины механического запоминания ряда действий при решении задач: выбор метода решения не вызывает трудностей и сомнений;
решение сводится к одной и той же операции, которая может быть и довольно сложной, но состоящей из ряда элементарных операций;
решение задачи одним, иногда двумя способами;
предлагаемые задачи являются задачами одного типа, вследствие чего не являются непривычными.
Учащиеся очень быстро перестают применять изученные определения, теоремы, сокращая обоснование решения задачи. Поэтому система заданий должна составляться учителем так, чтобы нарушались вышеуказанные причины, т. к. нарушение хотя бы одной из них приводит к активизации мыслительной деятельности учащихся.
Наряду с обязательными учебными занятиями в общеобразовательных учреждениях используются и разнообразные формы учебной работы, проводимой вне расписания уроков. К таким формам учебной работы относят, в частности, элективные курсы. Элективные курсы представляют собой сверхпрограммные занятия, право выбора которых остается за учащимся, а посещение осуществляется на добровольной основе. Это своеобразная «творческая лаборатория» учителя. Здесь для него много возможностей: можно заниматься углубленным изучением тем, которые вызывают интерес; можно решать вместе с ребятами олимпиадные задачи; можно проводить исследования различных, как теоретических, так и практических задач. Нет обязательной программы, которая утверждается свыше, нет и оценок, которые порой так страшны для ребят, нет и ограничений по времени в течении которого следует изучать разбирать задачи данной тематики. В базовом школьном курсе геометрии практически не изучаются кривые и поверхности второго порядка - разделы аналитической геометрии. Предлагаемое в элективном курсе изучение свойств и форм линий второго порядка позволит расширить рамки математических знаний учащихся, позволит взглянуть по-новому на практическое применение математики, на ее связь с другими отраслями знаний. Школьникам будет интересно узнать об оптических свойствах эллипса, гиперболы, параболы, о применении этих свойств на практике. Элективный курс включает учащихся в различные формы самостоятельной деятельности, совмещает математическую строгость изложения материала с математической красотой и математической занимательностью.
Целью данной работы является разработка элективного курса по теме «Кривые второго порядка», который может: - Расширить кругозор учащихся.
- Развить математическое мышление
- Сформировать активный познавательный интерес к предмету
- Сформировать умения последовательно рассуждать, анализировать факты, обобщать их
- Сформировать представления о прикладных возможностях математики
Для реализации поставленной цели было необходимо решить следующие задачи: 1. Изучить психолого-педагогические особенности старшего школьного возраста для обоснования возможности обучения учеников кривым второго порядка.
2. Проанализировать учебную литературу (программа по математике, школьные учебники) с точки зрения рассматриваемого вопроса.
3. Сформулировать педагогические требования к элективному курсу.
4. Обеспечить преемственность школьного материала и материала элективного курса
5. Обеспечить преемственность между общим и профессиональным образованием
Актуальность данной работы продиктована необходимостью обеспечить развитие кругозора учащихся, дополнительной мотивации к изучению предмета, содействию в дальнейшей профессиональной ориентации учащихся, соблюдая при этом преемственность общеобразовательного курса математики и элективного курса по теме «Кривые второго порядка».
Вывод
В работе был разработан элективный курс по теме: « Кривые второго порядка», который предназначен для учащихся 10-11 классов.
После изучения научной и методической литературы материал отобран с учетом психологических особенностей учащихся старших классов и систематизирован для целостного изложения.
Содержание всех занятий позволяет углубить представление учащихся об эллипсе, гиперболе и параболе и ознакомить их с некоторыми, наиболее яркими свойствами замечательных кривых, приблизить их к пониманию некоторых важных идей современной математики.
В ходе написания работы были достигнуты следующие цели, поставленные в ведении: был проведен анализ учебников по геометрии за 10-11 классы с целью изучения места кривых второго порядка в курсе старшей школы. Как средство расширения кругозора учащихся и повышения интереса к предмету был разработан элективный курс, который направлен на расширение кругозора учащихся, развитие математического мышления, формирования активного познавательного интереса к предмету, формирования умения последовательно рассуждать, анализировать факты, обобщать их, формирования представления о прикладных возможностях математики, содействовать профессиональной ориентации учащихся.
При написании работы были поставлены следующие задачи: 1. Изучить психолого-педагогические особенности старшего школьного возраста для обоснования возможности обучения учеников кривым второго порядка.
2. Проанализировать учебную литературу (программа по математике, школьные учебники) с точки зрения рассматриваемого вопроса.
3. Обеспечить преемственность школьного материала и материала элективного курса
4. Обеспечить преемственность между общим и профессиональным образованием.
Все поставленные задачи при написании работы были достигнуты.
Список литературы
1. Акопян А.В. Геометрические свойства кривых второго порядка [Текст] / А.В. Акопян, А.А. Заславский.- М.: МЦНМО, 2007. - 136 с.
2. Александров А.Д. Геометрия [Текст]: учеб. для учащихся 10 кл. с углубл. изуч. математики / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик.- М.: Просвещение: Моск. учебники, 2001. - 270 с.
3. Александров А.Д. Геометрия [Текст]: учеб. для учащихся 11 кл. с углубл. изуч. математики / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик.- М.: Просвещение: Моск. учебники, 2001. - 319 с.
4. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры [Текст] / П.С. Александров.- М.: Наука, 1979. - 256 с.
5. Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы методике обучения математике [Текст] / Я.И. Груденов. - М.: Педагогика, 1987. - 160 с.
6. Ермаков Д.С. Создание элективных учебных курсов для профильного обучения [Текст] / Д.С. Ермаков, Г.Д. Петрова // Школьные технологии.- 2003.- № 6.- С. 22-29.
7. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа [Текст]: учеб. пособие для 10-11 кл. средней шк. / А.М. Абрамов, Б.М. Ивлев Дудницын Ю.П.- М., 1993. - 48 с.
8. Ильин В.А. Аналитическая геометрия [Текст] / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк.- М., 1971. - 232 с.
9. Кон И.С. Психология ранней юности [Текст] / И.С. Кон.- М.: Просвещение, 1989. - 255 с.
10. Маркушевич А.И. Замечательные кривые [Текст] / А.И. Маркушевич.- М.: Наука, 1978. - 32 с.
11. Об элективных курсах в системе профильного обучения на старшей ступени общего образования [Электронный документ]: Информационное письмо Департамента общего и дошкольного образования Минобразования России № 14-51-277/13 от 13.11.2003.- (www.profile-edu.ru ). 24.04.2010
12. Погорелов А.В. Геометрия [Текст]: 10-11 кл. для общеобразоват. Учреждений: базовый и профильный уровни / А.В. Погорелов. - 9-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 175с.
13. Потоскуев Е.В. Геометрия [Текст]: 11 кл. для общеобразоват. с углубл. и профильным изуч. математики / Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич.- 2-е изд., испр. - М.: Дрофа, 2004. - 224 с.
14. Смирнова И.М. Геометрия [Текст]: 10-11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений (гуманитарный профиль) / И.М. Смирнова.- М.: Мнемозина, 2004. - 288 с.
15. Смирнова И.М. Геометрия [Текст]: 10-11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений (базовый и профильные уровни) / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов.- 5-е изд., испр. и доп.- М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.
16. Смирнова И.М. Кривые. Курс по выбору. 9 класс [Текст]: учебное пособие для общеобразоват. учреждений / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов.- М.: Мнемозина, 2007. - 63 с.
17. Федяева Л.В. Элективные курсы по математике в системе профильного обучения [Электронный документ] / Л.В. Федяева
// Вестник Омского государственного педагогического университета: Электронный научный журнал.- 2007.- (http://www.omsk.edu). 24.04.2010
18. Филип Райс. Психология подросткового и юношеского возраста [Текст] / Р. Филип.- 8-е изд.- СПБ.: Питер, 2000. - 200 с.
19. Черникова Т.В. Методические рекомендации по разработке и оформлению программ элективных курсов [Текст] / Т.В. Черникова
// Профильная школа.- 2005.- № 5.- С. 11-16.
20. Шиянова Е.Б. Формирование у школьников мыслительных операций преобразования [Текст] / Е.Б. Шиянова // Вопросы психологии.- 1986.- № 1. - С. 23-28.
21. Элективные курсы в профильном обучении [Текст] / М-во образования РФ. Национальный фонд подготовки кадров. - М.: Вита-Пресс, 2004.- 144 c.
22. Эльконин Б.Д. Психологическое строение понятия величины [Текст] / Б.Д. Эльконин // Вопросы психологии.- 1986.- № 1. - С. 60-64.