Понятие интеграла Римана, анализ его определений. Интеграл как предела интегральных сумм Римана, единственное число, разделяющее верхние и нижние суммы Дарбу. Интеграл от непрерывной функции как приращение первообразной (формула Ньютона-Лейбница).
Аннотация к работе
Задачи, которые нужно выполнить для достижения цели: изучить множество литературы по этой теме, отобрать из изученного материла необходимый; привести примеры использования интеграла Римана. Иоганн Кеплер (1571-1630), Бонавентура Кавальери (1598-1647), Эванжелиста Торричелли (1608-1647) и Блез Паскаль (1623-1662) в своих трудах развивали методы, которые привели к созданию интегрального исчисления в великих творениях Исаака Ньютона (1643-1727) и Готфрида Вильгельма Лейбница (1646-1716). Для более широких классов функций определения интегралов дали Георг Фридрих Бернгард Риман (1826-1866), чье имя носит определенный интеграл (интеграл Римана), а затем Жан Гастон Дарбу (1842-1917) и Камиль Мари Эдмон Жордан (1838-1922).Поскольку все величины, вводимые ниже, не будут зависеть от способа расстановки круглых и квадратных скобок в таких разбиениях, обычно любое из таких разбиений отождествляют с совокупностью точек . Число Іназывается пределом интегральных сумм при мелкости разбиения , стремящейся к нулю, когда выполняется условие: для любого найдется такое , что для любого разбиения с мелкостью для любых выборок выполняется неравенство . В случае, когда существует конечный предел Іинтегральных сумм Римана, говорят, что функция f интегрируема по Риману на отрезке , а сам этот предел обозначают и называют (определенным) интегралом Римана (от функции f по отрезку ). Если функция f интегрируема по Риману на отрезке , то она ограничена на этом отрезке. Предположим противное: Если функция f не ограничена на отрезке , то для этого разбиения найдется хотя бы один отрезок , на котором она будет не ограничена.Определение 2.1 Пусть функция определена на отрезке и задано разбиение отрезка . Определим: , Нижней и верхней интегральными суммами Дарбу функции на , отвечающими разбиению называются соответственно: , . Лемма 2.1 Если функция ограничена снизу на , то для любого разбиения -. Лемма 2.2 Если функция ограничена сверху на , то для любого разбиения -. Пример 2.1 Найти суммы Дарбу для функции на отрезке , соответствующие разбиению этого отрезка на частей.Определение 3.1 Функция называется первообразной функцией на , если , а на концах отрезка значения функции равны односторонним производным функциям : , . Теорема 3.2 (Замена переменной) Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке , а функция непрерывна на отрезке . Поскольку функция непрерывна на отрезке , то по теореме 3 существует первообразная для функции : . Следовательно, по формуле Ньютона-Лейбница: Теорема 3.3 (Интегрирование по частям) Если функции и непрерывно дифференцируемы на , то . Поскольку функции и непрерывны, то по теореме 3 существуют дифференцируемые на функции и : , , .Интеграл, который мы рассмотрели в данной работе, был введен Бернхардом Риманом в 1854 г., и является одной из первых формализаций понятия интеграла и одним из важнейших понятий математического анализа. Также определенный интеграл используется для изучения собственно самой математики.
План
Содержание
Введение
§1. Определение интеграла как предела интегральных сумм Римана
§2. Определение интеграла как единственного числа, разделяющего верхние и нижние суммы Дарбу
§3. Определение интеграла от непрерывной функции как приращение первообразной (формула Ньютона-Лейбница)
§4. Равносильность "первого", "второго" и "третьего" определений интеграла Римана
Заключение
Список литературы
Введение
Целью данной работы является анализ различных определений интеграла Римана, их сопоставление, сравнение, выявление общего и различного.
Задачи, которые нужно выполнить для достижения цели: изучить множество литературы по этой теме, отобрать из изученного материла необходимый; привести примеры использования интеграла Римана.
Иоганн Кеплер (1571-1630), Бонавентура Кавальери (1598-1647), Эванжелиста Торричелли (1608-1647) и Блез Паскаль (1623-1662) в своих трудах развивали методы, которые привели к созданию интегрального исчисления в великих творениях Исаака Ньютона (1643-1727) и Готфрида Вильгельма Лейбница (1646-1716).
Огюстен Луи Коши (1789-1857) дал определение интеграла как предела интегральных сумм и доказал существование интеграла от непрерывной функции. Для более широких классов функций определения интегралов дали Георг Фридрих Бернгард Риман (1826-1866), чье имя носит определенный интеграл (интеграл Римана), а затем Жан Гастон Дарбу (1842-1917) и Камиль Мари Эдмон Жордан (1838-1922). Дальнейшее развитие понятие интеграла получило в трудах Томаса Стилтьеса (1856-1894) и Анри Луи Лебега (1875-1941).
Георг Фридрих Бернхард Риман (17 .09.1826-20.07.1866 ) - немецкий математик , механик и физик. За свою короткую жизнь (всего 10 лет трудов) он преобразовал сразу несколько разделов математики. "Мы склонны видеть в Римане, может быть, величайшего математика середины XIX века, непосредственного преемника Гаусса ", - отмечал академик П.С. Александров [1].
Понятие интеграла Римана, известное из элементарного курса анализа, применимо лишь к таким функциям, которые или непрерывны, или имеют "не слишком много" точек разрыва. Для измеримых функций, которые могут быть разрывны всюду, где они определены (или же вообще могут быть заданы на абстрактном множестве, так что для них понятие непрерывности просто не имеет смысла), римановская конструкция интеграла становится непригодной. интеграл риман приращение первообразная
Вывод
Интеграл, который мы рассмотрели в данной работе, был введен Бернхардом Риманом в 1854 г., и является одной из первых формализаций понятия интеграла и одним из важнейших понятий математического анализа.
Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись методы интегрального исчисления, в общем, и свойства определенного интеграла, в частности. Также определенный интеграл используется для изучения собственно самой математики. Например, при решении дифференциальных уравнений, которые в свою очередь вносят свой незаменимый вклад в решение задач практического содержания. Можно сказать, что определенный интеграл - это некоторый фундамент для изучения математики. Отсюда и важность знания методов их решения.
Но вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому самым простым и удобным методом вычисления определенного интеграла является формула Ньютона-Лейбница.
Список литературы
1) Клевчихин, Ю.А. Лекция 4. Определение интеграла Римана - Владивосток, 2005. - 9 с.
2) Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3 - Москва, 1966 - 662 с.
3) Кудрявцев, Л.Д. Математический анализ. Том 2 - М.: Высшая школа, 1970. - 424 с.
4) Иванов, Г.Е. Лекции по математическому анализу. Часть 1 - МФТИ, 2000. - 359 с.
5) Свободная энциклопедия Википедия, статья "Риман, Бернхард". Web: https: // ru. wikipedia.org/wiki/Риман,_Бернхард
6) Свободная энциклопедия Википедия, статья "Интеграл Римана". Web: https: // ru. wikipedia.org/wiki/Интеграл_Римана