Теория вероятности – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Метод наибольшего правдоподобия. Доверительные оценки. Точечные оценки и критерий согласия. Теорема Чебышева. Распределение Пуассона. Доверительный интервал.
Аннотация к работе
Теория вероятности - математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. При научном исследовании физических и технических задач, часто приходится встречаться с явлениями особого типа, которые принято называть случайными. Случайное явление - это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает несколько по-иному. Тем не менее, в ряде практических задач этими случайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместо реального явления его упрощенную схему, т.е. модель, и предполагая, что в данных условиях опыта явление протекает вполне определенным образом.Пусть случайная выборка из генеральной совокупности со случайной величиной , распределение которой зависит от параметра . Тогда случайный интервал называется доверительной оценкой параметра с мерой надежности (с уровнем значимости ). Если имеется реализация выборки , то реализация доверительной оценки дает доверительный интервал и в большом ряду выборок истинное значение лежит примерно в случаев внутри вычисленных доверительных границ и . Односторонней критической границей, отвечающей уровню значимости (процентной точкой уровня ), непрерывной случайной величины с функцией распределения называется значение случайной величины , для которой , или . Нижней и верхней критическими границами, отвечающими уровню значимости непрерывной случайной величины с функцией распределения называются значения случайной величины и , для которых ; ;Пусть плотность вероятности X содержит неизвестный параметр , который следует оценить по выборке, и имеет вид . Обозначим через наибольшее из возможных значений, которое встречается в выборке, а через - абсолютные частоты, с которыми появляются значения в выборке . В этом случае функцией правдоподобия называют функцию параметра , определяемую соотношением Метод наибольшего правдоподобия состоит в том, что в качестве оценки параметра берется значение, при котором функция правдоподобия достигает своего максимума. Если плотность или вероятности зависят от параметров, то наиболее правдоподобную оценку системы параметров получают решением системы уравненийТребуется найти оценку для или некоторой функции от него (например, математического ожидания, дисперсии) по случайной выборке из генеральной совокупности X. Например, предположим, что масса X детали имеет нормальный закон распределения, но его параметры неизвестны. (1.3.1) для любого фиксированного пи , то следует предпочесть оценку , поскольку разброс статистики относительно параметра меньше, чем разброс статистики Если в некотором классе несмещенных оценок параметра , имеющих конечную дисперсию, существует такая оценка , что неравенство (2.1) выполняется для всех оценок из этого класса, то говорят, что оценка является эффективной в данном классе оценок. оценивать неизвестные параметры и при малых объемах выборки. Если в некотором классе несмещенных оценок параметра , имеющих конечную дисперсию, существует такая оценка , что неравенство (3.2) выполняется для всех оценок из этого класса, то говорят, что оценка является эффективной в данном классе оценок.Рассмотрим гипотезы Н0: F(x)=F0(x) при конкурирующей Н1: F(x)?F0(x). Задача проверки гипотез относительно законов распределения называется задачей проверки согласия, а критерий для этой задачи --ритерием согласия. Рассмотрим случайную величину (ni --лучайное) при она стремится к c2 --аспределению случайной величины с т-е-1 степенями свободы (е-число статистических параметров).Для любой случайной величины Х, имеющей математическое ожидание МХ и дисперсию DX, справедливо неравенство где a - любое положительное число. Совершенно аналогично доказывается неравенство Чебышева и для дискретной случайной величины, имеющей значения x1, x2, ... с вероятностями p1, p2, ... Пусть имеется случайная величина Х с медианой МХ и дисперсией DX. Над этой случайной величиной Х производится п независимых опытов, в результате которых она принимает значения Х1, Х2, ... Найдем MYN и DYN : Применим к случайной величине Yn неравенство Чебышева, в котором положим a равным e, где e>0 - сколь угодно малое, наперед заданное число.Будем считать, что независимая выборка взята из распределения, зависящего от скалярного параметра . -доверительным интервалом называется интервал вида где такой, что Число называют доверительной вероятностью. Другими словами, доверительный интервал обладает тем свойством, что, во-первых, его границы вычисляются исключительно по выборке (и, следовательно, не зависят от неизвестного параметра), и, во-вторых, он накрывает неизвестный параметр с вероятностью . Значение доверительной вероятности выбирается заранее, этот выбор определяется конкретными практическими приложениями. Выбираем функцию , зависящую от выборки и от неизвестного параметра, такую, что ее функция распределения не зависит от неизвестного параметра .Теперь рассмотрим случай, когда обе совокупности подчиняются нормальному распределению, но проверка гипотез о равенстве двух генеральных дисперсий закончилась отвержением
План
СОДЕРЖАНИЕ
Введение………………………………………………………………………..….4
1 Теоретическая часть……….……………………………………………………5
1.1 Доверительные оценки…………………………………………..……….….5
1.2 Метод наибольшего правдоподобия………………………………….…...10
1.3 Точечные оценки…………………………………………………………..13
1.4 Критерий согласия…………………………………………………….……18
1.5 Теорема Чебышева…………………………………………...……….……19
1.6 Понятие доверительного интервала………………...……………….….…23