Исследование и расчет цепей синусоидального и постоянного тока. Нахождение линейных однофазных цепей при несинусоидальном питающем напряжении. Исследование и применение методов расчета трехфазной цепи. Задача на определение параметров четырехполюсника.
Аннотация к работе
При расчетах линейных электрических цепей возможна замена части цепи, содержащей источник ЭДС и тока, относительно зажимов выделенной ветви ab (рис. 4) Включаем в схему Е1 и Е2, измеряем ток I3 при R3=0, затем размыкаем ключ S и измеряем напряжение между точками 2 и 3. полученные значения заносим в таблицу 5 Токи и межузловые сопротивления в данной схеме находятся следующим образом: Найдем теперь токи I1, I2, I3. Метод эквивалентного генератора основан на том, что вся схема, подключенная к какой-нибудь одной ее ветви, ток в которой нужно найти, заменяется эквивалентным генератором с ЭДС и внутренним сопротивлением такими, что ток в этой ветви не изменяется по сравнению с исходной схемой. 16: Найдем ток в цепи, полную, активную, реактивную мощность и напряжения на зажимах первой катушки: Определим комплексное входное сопротивление цепи на рисунке 17, принимая, что амперметры имеют чисто активное сопротивление 1 Ом: Теперь рассчитаем токи в ветвях схемы и напряжение на параллельно включенных элементах 3 и 4.В курсовом проекте на простых примерах - цепях постоянного тока - показано применение методов расчета различных электрических цепей. Причем весьма важным является то, что методы расчета цепей постоянного тока универсальны (метод узловых потенциалов, контурных токов и метод наложения) и могут использоваться для расчета любых линейных электрических цепей. Исследование цепей синусоидального тока выполнялась с целью более глубокого изучения процессов, происходящих в линейных электрических цепях синусоидального тока, явлений резонанса, сдвига фаз между током и напряжением. При проведении расчетов широко использовался комплексный метод расчета таких цепей, который очень мощен и в то же время прост в применении при машинном способе расчета. При этом всегда следует учитывать то, что выбор конкретного метода для расчета заданной электрической цепи всегда стоит осуществлять, ориентируясь не только на ее структуру, но и учитывая глубину понимания данного метода расчета.
Введение
Данная работа представляет собой обобщение работы, проведенной за время обучения теоретических основ электротехники. Фактически всю работу можно разделить на четыре части, каждая из которых состоит из разделов, посвященных соответствующей теме. В каждом разделе имеются теоретические сведения, которые помогают легче освоить изложенный далее материал.
Первая часть посвящена исследованию и расчету цепей постоянного тока, где рассматриваются вопросы по решению задач различными методами: методом контурных токов;
методом узловых потенциалов;
методом наложения;
методом эквивалентного генератора.
Также приведено сравнение вышеуказанных методов.
Вторая часть описывает исследования и расчет цепей синусоидального тока. Дается представление резонанса, причины и необходимые условия его возникновения. На примере показано построение векторных диаграмм тока и напряжения.
Третья часть предусматривает исследование и расчет линейных однофазных цепей при несинусоидальном питающем напряжении. Большое внимание уделялось на теоретические сведения. Имеются примеры решения задач.
Четвертый раздел посвящен исследованию трехфазных цепей, наиболее сложной теме курса. Решены и разобраны конкретные задачи.
Пятый раздел содержит краткие теоретические сведения из теории четырехполюсников и пример решения задачи на нахождение параметров А-матрицы четырехполюсника по заданной схеме.
1. Исследование и расчет цепей постоянного тока
1.1 Цель работы
1. Освоение методики измерения токов, напряжений, потенциалов.
2. Опытная проверка законов Кирхгофа и принципа наложения.
Законы Кирхгофа являются фундаментальными законами электротехники.
Первый закон Кирхгофа формулируется для узла электрической цепи: алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю. При этом подходящие к узлу токи записываются с одним знаком, отходящие - с другим. Например, для узла, изображенного на рис. 1, можно записать первый закон Кирхгофа:
Рис. 1 Узел электрической цепи
I1 I2 - I3 - I4 = 0 или - I1 - I2 I3 I4 = 0
Число линейно независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, на единицу меньше числа узлов схемы.
Второй закон Кирхгофа формулируется для контура электрической цепи: алгебраическая сумма падений напряжений на участках контура равна алгебраической сумме ЭДС того же контура. При этом если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то она берется со знаком „плюс", если не совпадает - со знаком „минус”. Падение напряжения на элементе берется со знаком „плюс", если направление тока в элементе совпадает с направлением обхода, если не совпадает - со знаком „минус".
Например, для контура, показанного на рис. 2, можно записать:
Рис. 2
R1I1 R2I2 - R3I3 - R4I4 = E1 - E2
Уравнения по второму закону Кирхгофа составляются для независимых контуров - контуров, отличающихся друг от друга хотя бы одной новой ветвью.
Последовательность определения токов ветвей по законам Кирхгофа: 1) Выбирается направления токов ветвей. Число токов равно числу ветвей схемы. Токи ветвей с источниками тока известны.
2) Записываются уравнения по первому закону Кирхгофа, их число на единицу меньше числа узлов схемы.
3) Выбираются независимые контуры и направления их обхода.
4) Записываются уравнения по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, при этом уравнения для контуров, включающих источники тока, не составляются.
5) В результате совместного решения уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, определяются токи ветвей.
Метод контурных токов
В этом методе за неизвестные принимают токи независимых контуров (контурные токи), а токи ветвей выражают через контурные.
Рассмотрим правила формирования уравнений на примере схемы, приведенной на рис. 3, в которой известны величины ЭДС и ток источника тока, а также все сопротивления.
Рис. 3
Выберем независимые контуры и направления их обхода. Допустим, что в каждом контуре протекает свой контурный ток, совпадающий с направлением обхода - I11 , I22 , I33 .Выберем направления токов ветвей и составим уравнения по второму закону Кирхгофа для выбранных контуров (для контура с источником тока уравнение не составляется, так как I33 = J): R1I1 (R2 R3)I2 = E1
В общем виде для трехконтурной схемы с одним источником тока: R11I11 R12I22 R13I33 = E11
R21I11 R22I22 R23I23 = E22, где R11 , R22 - собственные сопротивления контуров I11 и I22, каждое из которых равно сумме сопротивлении, входящих в данный контур;
R12 = R21 , R13 ,R23 - общие сопротивления контуров. Общее сопротивление равно сопротивлению ветви, общей для рассматриваемых контуров, Общие сопротивления берутся со знаком “плюс”, если контурные токи в них направлены одинаково и со знаком “минус”, если контурные токи в них направлены встречно. Если контуры не имеют общей ветви, то их общее сопротивление равно нулю. В рассматриваемом примере R13 = 0;
Е11 , Е22 - контурные ЭДС, каждая из которых равна алгебраической сумме ЭДС данного контура. ЭДС берется со знаком ”плюс”, если ее направление совпадает с направлением контурного тока, если не совпадает - со знаком “минус”.
Последовательность определения токов ветвей методом контурных токов
1) Выбираются независимые контуры и направления контурных токов.
2) Записывается система уравнений в общем виде. Число уравнений равно числу независимых контуров схемы минус число контуров, содержащих источники тока. Количество слагаемых в левой части уравнения равно числу независимых контуров.
3) Определяются коэффициенты при неизвестных - собственные и общие сопротивления контуров, а также контурные ЭДС. Если общей ветвью контуров является источник ЭДС без сопротивления, то общее сопротивление этих контуров равно нулю.
4) Рассчитываются контурные токи.
5) Выбираются направления токов ветвей.
6) Определяются токи ветвей.
Метод узловых потенциалов
В этом методе за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, а токи ветвей находят по закону Ома.
Рассмотрим правила формирования уравнений на примере схемы, приведенной на рис. 4, в которой известны величины ЭДС и ток источника тока, а также все сопротивления.
В этой схеме два неизвестных потенциала: и , поскольку = , = , = , а потенциал одного из узлов, в данном случае , принимается равным нулю, что на схеме обозначается заземлением узла 3.
Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа, предварительно выбрав направления токов в ветвях:
где , - собственные (узловые) проводимости узлов 1 и 2, каждая из которых равна сумме проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле;
, - общая проводимость - взятая со знаком “минус” сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы 1 и 2 (проводимость ветви, содержащей источник тока, равна нулю);
, - задающие (узловые) токи узлов 1 и 2, каждый из которых равен алгебраической сумме произведений ЭДС на проводимость ветвей, в которых они находятся (рассматриваются ветви, подключенные к данному узлу), и алгебраической сумме токов источников тока, подключенных к данному узлу. Знаки слагаемых: “плюс” - если направление ЭДС (источника тока) к узлу, “минус” - если направление ЭДС (источника тока) от узла.
Последовательность определения токов ветвей методом узловых потенциалов: 1) Записывается система уравнений в общем виде. Число уравнений системы на единицу меньше числа узлов схемы. Если в схеме содержится ветвь с источником ЭДС без сопротивлений, то j2 = j1 E1. Приняв j1 = 0, получим j2 = E1.
2) Определяются коэффициенты при неизвестных - собственные и общие проводимости, также задающие токи узлов.
3) Рассчитывается потенциалы узлов.
4) Выбираются направления токов ветвей.
5) Определяются токи ветвей.
Метод эквивалентного генератора
При расчетах линейных электрических цепей возможна замена части цепи, содержащей источник ЭДС и тока, относительно зажимов выделенной ветви ab (рис. 5,а) активным двухполюсником, состоящим из последовательно соединенных ЭДС и сопротивления. В этом случае указанную ветвь можно рассматривать как нагрузку эквивалентного генератора с ЭДС ЕГ и сопротивлением RГ.
Рис. 5
Эквивалентная ЭДС ЕГ равна напряжению на зажимах ab при разомкнутой ветви RH, т.е. напряжению холостого хода Ux.х. Сопротивление RГ равно входному сопротивлению цепи относительно зажимов ab при разомкнутой ветви RH. Источники при этом исключаются из схемы.
Эквивалентные параметры ЕГ и RГ могут быть определены опытным путем из режимов холостого хода (рис. 5,б) и короткого замыкания (рис. 5,в): ЕГ = Ux.х.;
Сравнение методов.
Наиболее эффективным методом при расчете цепи постоянного тока является тот метод, который приводит к наименьшему числу уравнений, составляющих систему решения. Поэтому выбор способа решения напрямую зависит от исследуемой схемы. Если в этой схеме малое количество узлов, то решение удобнее проводить методом узловых потенциалов, если же в схеме небольшое количество независимых контуров, то удобней решать методом контурных токов. Метод эквивалентного генератора можно применять в очень сложных цепях, когда требуется найти один какой-либо параметр. При использовании этого метода число ветвей в схеме для анализа уменьшается на одну, что упрощает расчет.
1.3 Экспериментальная часть
1) Измеряем Е1 и Е2 , показания заносим в таблицу 1.
Параметры исследуемой цепи
Таблица 1
Значения ЭДС, В Сопротивления резисторов, Ом Сопротивления амперметров, Ом
Е1 Е2 R1 R2 R3 R4 R5 R6 RA1 RA2 RA3
10 9 123 80 50 80 80 20 2 2 1
При замкнутом ключе S измеряем токи от действия обеих ЭДС, полученные значения заносим в таблицу 2 и 4.
Сравнение значений токов, полученных расчетами и в опыте
Таблица 2
Токи в ветвях, МА Способ определения
I1 I2 I3 I4 I5
39,5 -1,5 38 Опытным путем
39,3 -1,38 38 91,1 89,7 Методом контурных токов
39,6 -1,18 37,5 90,9 89,8 Методом узловых потенциалов
38,3 Методом эквивалентного генератора
2) Принимаем потенциал одного из узлов схемы (узла номер 3) равным нулю, измеряем потенциалы указанных точек, заносим их в таблицу 3
Сравнение значений потенциалов, полученных расчетом и в опыте
Таблица 3
Потенциалы точек цепи, В Способ определения ?1 ?2 ?3 ?4 ?5 ?6
1,8 1,9 0 -7,2 -3,1 6,85 Опытным путем
1,82 1,91 0 Методом узловых потенциалов
3) Измеряем и заносим в таблицу 4 значения токов от действия Е1, Е2 .
Проверка принципа наложения
Таблица 4 включены ЭДС, В Токи, МА опыт расчет
Е1 I"1 I"2 I"3 преобразованием цепи
I"1 I"2 I"3
42 -14,5 27,5 41,9 -14,3 27,6
Е2 I""1 I""2 I""3 преобразованием цепи
I""1 I""2 I""3
-2,5 13 10,5 -2,6 13 10,4
Е1, Е2 I1 I2 I3 методом наложения
I1 I2 I3
39,5 -1,5 38 39,3 -1,3 38
4) Включаем в схему Е1 и Е2, измеряем ток I3 при R3=0, затем размыкаем ключ S и измеряем напряжение между точками 2 и 3. полученные значения заносим в таблицу 5
Параметры эквивалентного генератора
Таблица 5
Напряжение холостого хода Ег=U23Х,X, В Ток короткого замыкания ІЗ К.З, А Сопротивление RГ , Ом Способ определения
4,5 0,067 67,1 Опыт
4,45 66,3 Расчет
Потенциальная диаграмма
Потенциалы всех узлов, обозначенных на схеме:
Рис. 6 Потенциальная диаграмма для внешнего контура схемы (узлы 3-4-1-2-6-5-3)
1.4 Расчетная часть
Рис. 7 Эквивалентная схема стенда, используемая для проведения расчетов
Составим уравнения по законам Кирхгофа: -по первому закону Кирхгофа:
I1 I2=I3 39,5-1,5=38 (МА)
-по второму закону Кирхгофа:
Метод контурных токов
Выберем три независимых контура. Обозначим контурные токи: I11, I22, I33, выбрав направление обхода произвольно.
Составим систему уравнений для определения контурных токов:
Для данной схемы при выбранных направлениях обхода контуров их параметры выражаются следующим образом:
Рис. 8 Метод контурных токов
Решив полученную систему уравнений, найдем контурные токи:
Выразим токи ветвей через контурные:
Метод узловых потенциалов
Рис. 9 Метод узловых потенциалов
Запишем систему уравнений для потенциалов узлов 1 и 2:
По исходным данным вычислим значения задающих токов и проводимостей ветвей:
Решив полученную систему уравнений, получим потенциалы узлов:
Исходя из потенциалов узлов и 2-го закона Кирхгофа, найдем токи ветвей:
Расчет токов методом наложения
Метод основан на предположении о линейности цепи, т.е. о том, что все источники в схеме действуют независимо и токи в ветвях схемы можно представить как алгебраическую сумму токов каждого из источников.
Преобразуем исходную схему, исключив второй источник напряжения.
Рис. 10 Преобразование схемы для метода наложения.
Рассчитаем вспомогательные сопротивления (между узлами схемы):
Теперь рассчитаем токи в ветвях схемы с учетом принятых для них направлений.
Проведем аналогичный расчет, исключив первый источник.
Рис. 11 Преобразование схемы для метода наложения
Токи и межузловые сопротивления в данной схеме находятся следующим образом:
Найдем теперь токи I1, I2, I3.
Метод эквивалентного генератора
Метод эквивалентного генератора основан на том, что вся схема, подключенная к какой-нибудь одной ее ветви, ток в которой нужно найти, заменяется эквивалентным генератором с ЭДС и внутренним сопротивлением такими, что ток в этой ветви не изменяется по сравнению с исходной схемой.
Рис. 12 Преобразование схемы для метода эквивалентного генератора
Для заданной схемы ЭДС эквивалентного генератора, рассчитанная с использованием метода узловых потенциалов, .
Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора найдем по формуле:
Ток I3 рассчитаем по закону Ома: .
Проверка баланса мощностей в схеме
Баланс мощностей в схеме определяется следующими выражениями:
Погрешность вычислений найдем по формуле:
Для заданной схемы баланс мощностей запишется в виде:
Проверка баланса мощностей в схеме
Таблица 6
Способ определения Мощность источников, Вт Мощность потребителей, Вт Относительная погрешность, %
Метод узловых потенциалов 1,2043 1,204 <0.02
Метод контурных токов 1,2009 1,2009 0
Метод наложения 1,2009 1,2009 0
2. Исследование и расчет цепей синусоидального тока
2.1 Цель работы
1. Экспериментальное и расчетное определение эквивалентных параметров цепей переменного тока, состоящих из различных соединений активных, реактивных и индуктивно связанных элементов.
2. Применение символического метода расчета цепей синусоидального тока.
3. Расчет цепей с взаимной индукцией
4. Проверка баланса мощностей
5. Исследование резонансных явлений в электрических цепях
6. Построение векторных топографических диаграмм.
2.2 Теоретические сведения
Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону: , где - максимальное значение или амплитуда тока;
- угловая частота
- полная фаза колебания;
- начальная фаза.
Угловая частота , частота и период T связаны соотношением: .
Проекция вращающегося против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью вектора на вертикальную ось изменяется во времени по синусоидальному закону. Поэтому любая синусоидальная функция (ток, напряжение, ЭДС) может быть изображена вектором.
При проведении расчета очень удобным оказывается рассмотрение вращающегося вектора на комплексной плоскости. В этом случае вектор можно представить как комплексную амплитуду тока , а сам синусоидально изменяющийся ток I - как мнимую часть произведения комплексной амплитуды на : .
Тогда при t=0 можно записать: .
На практике широкое распространение получил символический метод расчета цепей синусоидального тока.
Сущность данного метода состоит в том, что при синусоидальном токе можно перейти от дифференциальных уравнений, составленных для мгновенных значений, к алгебраическим, составленным относительно комплексов амплитудных значений тока , напряжения , и ЭДС либо их действующих значений , и . Например, если , то комплексное действующее значение напряжения
, где .
Рис. 13 Схема цепи с реактивными элементами
Аналогично осуществляется запись комплексов действующих значений величин ЭДС и тока. Например, для схемы (рис. 13) уравнение для мгновенных значений напряжений, составленное по второму закону Кирхгофа, запишется следующим образом: , или .
Переходя к комплексным действующим значениям напряжений, получим: , где R - активное сопротивление цепи, - комплексное индуктивное сопротивление цепи, - комплексное емкостное сопротивление цепи.
Множитель свидетельствует о том, что вектор напряжения на индуктивности L опережает вектор тока на . Множитель свидетельствует о том, что вектор напряжения на емкости С отстает от вектора тока на . На активном сопротивлении R векторы напряжения и тока совпадают по направлению.
Величина называется комплексным сопротивлением цепи (рис. 13), а - ее комплексной проводимостью, где G и B - активная и реактивная составляющие проводимости цепи.
Комплексные числа записываются в одной из следующих форм: алгебраическая - ;
показательная - ;
тригонометрическая - ;
полярная - .
Геометрически любому комплексному числу можно сопоставить в соответствие точку комплексной плоскости с координатами x=a, y=jb или радиус-вектор длиной A единиц, проведенный из начала координат в точку A и расположенный под углом ? к оси абсцисс. Из рисунка очевидны формулы перехода из одной формы записи комплексного числа к другой:
Алгебраическая форма применяется при сложении и вычитании комплексных чисел, а показательная - при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня. Умножении числа на мнимую единицу сводится к повороту вектора на угол 900 против часовой стрелки, умножение на - к повороту на угол 900 по часовой стрелке, а умножение на -I соответствует повороту на .
Полное комплексное сопротивление цепи и ее участков (R, L и С) геометрически связаны треугольником сопротивлений: а) если , то б) если , то , где
Расчет электрической цепи в комплексной форме требует записи одного и того же комплексного числа в алгебраической и показательной формах.
Рассмотрим несколько примеров.
Векторные диаграммы
Представление комплексных величин на комплексной плоскости векторами дает возможность строить векторные диаграммы токов и напряжений в цепях синусоидального тока. Топографическая диаграмма позволяет проверить правильность расчетов и дает наглядное представление о фазовых сдвигах между напряжениями и токами.
Перед построением диаграммы предварительно выбираются положительное направление тока в цепи, а так же масштабы напряжений и токов на комплексной плоскости.
Для токов обычно строится лучевая диаграмма, когда токи откладываются из одной точки.
Для напряжений обычно строится топографическая диаграмма, на ней напряжения элементов откладываются в той же последовательности, как эти элементы расположены на схеме. Обход контура выбирают против положительного направления тока. На комплексной плоскости стрелка указывает в сторону большего потенциала. Сложение всех векторов напряжений дает входное напряжение цепи.
Цепи с индуктивно связанными элементами
В любой цепи переменного тока между катушками индуктивности существует взаимодействие, которое характеризуется величиной взаимной индуктивности M.
Если токи в катушках протекают в одном направлении относительно зажимов, то магнитный поток самоиндукции катушки совпадает с магнитным потоком взаимоиндукции. Такое включение катушек называется согласным. В этом случае напряжение взаимоиндукции прибавляется к напряжениям на соответствующих индуктивностях.
В противном случае включение катушек встречное. Напряжение взаимоиндукции вычитается из соответствующих напряжений на индуктивностях.
Начальный зажим на схемах помечается точкой.
Взаимная индуктивность рассчитывается по формуле: , где M - взаимная индуктивность, Гн;
Lc -индуктивность цепи при согласном включении, Гн;
Lв - индуктивность цепи при встречном включении, Гн.
Магнитная связь катушек характеризуется коэффициентом связи, который рассчитывается по формуле: , где K - коэффициент связи;
L1 - индуктивность первой катушки, Гн;
L2 - индуктивность второй катушки, Гн.
Резонанс в электрических цепях
Признаком резонанса в электрической цепи, содержащей индуктивности и емкости, является совпадение по фазе напряжения и тока на ее входе.
При последовательном соединении индуктивности и емкости или при последовательном соединении участков, содержащих индуктивность и емкость, возможен резонанс напряжений.
При резонансе напряжений индуктивное сопротивление цепи компенсируется емкостным, в результате входные реактивные сопротивление и мощность равны нулю, напряжения на реактивных элементах могут значительно превышать входное.
При параллельном соединении индуктивности и емкости или при параллельном соединении участков, содержащих индуктивность и емкость, возможен резонанс токов.
При резонансе токов индуктивная проводимость цепи компенсируется емкостной, в результате реактивная проводимость и реактивная мощность на входе цепи равна нулю, токи в реактивных элементах могут значительно превышать входной ток.
Частота, при которой наблюдается резонанс, называется резонансной. При исследовании резонансных режимов обычно определяется резонансная частота, значения индуктивности или емкости, при которых на заданной частоте возникает резонанс, а также рассчитываются частотные характеристики - зависимости токов, напряжений, сопротивлений, проводимостей от частоты.
2.3 Экспериментальная часть
Исследование элементов цепи в отдельности.
Собираем схему для определения параметров элементов цепи по методу трех приборов (вольтметра, амперметра, ваттметра), изображенную на рис. 14. Напряжение в схеме регулируется лабораторным автотрансформатором (ЛАТР).
Рис. 14 Схема для определения параметров цепи по методу трех приборов
С помощью осциллографа определяем действующее значение тока I и заносим полученное значение в таблицу 8. Вычисляем амплитуду тока по известным значениям амплитуды напряжения и сопротивления R1: , а затем и действующее его значение: . Определяем с помощью осциллографа максимальное значение напряжения на первой катушке (канал II) и заносим полученное значение в таблицу: .
Определяем период T, частоту f тока в цепи, фазовый сдвиг ? между напряжением и током катушки 1. Результат измерения угла ? заносим в таблицу.
Значения электрических величин при последовательном соединении элементов
Таблица 8
U I P Zэ S q UK1 Способ определения
В А Вт Ом В·А вар В
25 0,28 6,5 Опыт
0,3 e35.7° 7,5 80,1-16,1i 7,65 -1,5 11,85 Расчет
0,28 12,0 Измерения осциллографом
Исследование цепи со смешанно соединенными элементами.
Собираем схему смешанного соединения элементов (рис. 17)
Рис. 17 Схема смешанного соединения элементов и подключаем ее к зажимам 2 - 2/ схемы, приведенной на рис. 14. Измеряем ток, напряжение и активную мощность, результаты заносим в таблицу.
Значения электрических величин при смешанном соединении элементов
Подключаем к зажимам 2 - 2/ схемы, приведенной на рис. 14 последовательно включенные катушки индуктивности (рис. 18). При одном и том же напряжении проводим измерения тока и активной мощности для трех случаев: a) согласное включение;
b) встречное включение;
c) отсутствие магнитной связи (М = 0) - катушки разнесены или их оси перпендикулярны.
Рис. 18 Схема включения катушек с взаимной индуктивностью.
При встречном включении ток по величине больше, чем при согласном. Измеренные значения токов, напряжений и мощностей заносим в таблицу.
Параметры элементов
Таблица 10
Вид включения Катушек U I P Zэ Rэ Хэ Lэ ?э Способ определения
В А Вт Ом Гн град
Согласное 84 0,49 9 Опыт
171,4 38,7 167 0,5 77 По опытным данным
0,488 9,2 172 38,7 167,6 0,53 77 Расчет
Встречное 84 0,87 30 Опыт
96,5 38,8 88,3 0,29 70 По опытным данным
0,865 29 97 38,7 89 0,28 66,5 Расчет
M = 0 84 0,62 15 Опыт
135,5 38,7 129,8 0,41 71 По опытным данным
0,627 15,1 134 38,7 128,3 0,41 73,2 Расчет
М =0,0625 Гн; K = 0,4041
Исследование явления резонанса в электрических цепях. a) Исследование явления резонанса напряжений в электрических цепях.
Подключаем к зажимам 2 - 2/ схемы, приведенной на рис. 14 последовательно включенные конденсатор и реостат с катушкой индуктивности (рис. 19).
Из условия для входного реактивного сопротивления находим величину резонансной емкости Срез.
Рис. 19 Схема для исследования явления резонанса напряжений в электрических цепях
При одном и том же входном напряжении измеряем ток и мощность для трех значений емкости: С С рез, фазовый сдвиг между апряжением и током (по осциллографу), напряжения на участках ab, bc и ac. Результаты заносим в таблицу.
Значения электрических величин при резонансе напряжений
Таблица 11
C U I P Uab Ubc Uac ?I град Примечание
МКФ В А Вт В расчет измерение осциллографом
18,3 22,6 0,27 4 46,3 33,8 22.6 46.45 47 C < Срез
28,3 22,6 0,39 9 43,5 49 22.6 0 -2 C = Срез
38,3 22,6 0,35 7 28,7 43,8 22.6 -26.69 -27 C > Срез b) Исследование явления резонанса токов в электрических цепях.
Подключаем к зажимам 2 - 2/ схемы, приведенной на рис. 14 реостат и параллельно включенные конденсатор с катушкой индуктивности (рис. 20).
Рис. 20 Схема для исследования явления резонанса токов в электрических цепях
Из условия для входной реактивной проводимости находим величину резонансной емкости Срез.
При одном и том же входном напряжении измеряем ток и мощность для трех значений емкости: С С рез, фазовый сдвиг между напряжением и током (по осциллографу). Результаты заносим в таблицу.
Значения электрических величин при резонансе токов
Таблица 12
C U I P I1 I2 ?I град Примечание
МКФ В А Вт А А Расчет
46,2 82 2,12 144 2,96 1,19 -34,15 C < Срез
92,5 82 1,76 144 2,96 2,38 0 C = Срез
185 82 2,96 144 2,96 4,77 53,61 C > Срез
2.4 Расчетная часть
Рассчитаем параметры элементов стенда по отдельности по измеренным значениям тока, напряжения и активной мощности в них:
Абсолютное значение угла сдвига фаз определяется по формуле: , при этом для индуктивных элементов , а для емкостных .
По известным значениям реактивного сопротивления XL и ХС можно определить параметры реактивных элементов: , .
Подставляя в расчетные формулы значения токов и напряжений, полученные из опыта, получим: 1. Для реостата R (ввиду конструктивных особенностей - длинный провод, намотаный на каркас, считаем, что его реактивное сопротивление носит индуктивный характер):
2. Для катушки 1 (№18) и катушки 2(№22):
3. Для конденсатора:
Определим комплексное входное сопротивление цепи на рис. 16:
Найдем ток в цепи, полную, активную, реактивную мощность и напряжения на зажимах первой катушки:
Определим комплексное входное сопротивление цепи на рисунке 17, принимая, что амперметры имеют чисто активное сопротивление 1 Ом:
Теперь рассчитаем токи в ветвях схемы и напряжение на параллельно включенных элементах 3 и 4. После расчета проверяем баланс мощностей:
По результатам расчета убеждаемся, что баланс мощностей выполняется.
Рассчитаем эквивалентные параметры цепи и угол сдвига фаз между током и напряжениям для трех видов включения катушек.
А) для согласного включения:
Б) для встречного включения:
В) при отсутствии магнитной связи:
Рассчитаем взаимную индуктивность и коэффициент магнитной связи между катушками:
По известным данным элементов теоретически рассчитаем сопротивления катушек, охваченных магнитной связью и токи в них (включение катушек согласное):
Проведем аналогичные расчеты для встречного включения катушек:
Рассчитаем ток и индуктивность для случая с отсутствием магнитной связи:
Построим векторные диаграммы напряжений при последовательном и смешанном соединении элементов.
А) При последовательном соединении: рассчитаем токи и напряжения на всех элементах:
Для наглядности на графике вектор тока увеличен в 100 раз.
Рис. 21 Векторная диаграмма напряжений для схемы на рис. 16
Б) Рассчитаем токи и напряжения на элементах цепи при смешанном соединении элементов. Сопротивления амперметров полагаем активным, величиной 1 Ом.
По результатам расчетов строим векторную диаграмму напряжений для схемы на рис. 17 (векторы тока на этой диаграмме изображены увеличенными в сто раз):
Рис. 22 Векторная диаграмма напряжений для смешанного включения элементов
Аналогичным образом строится и векторная диаграмма напряжений для трех видов включения катушек (рис. 18) (согласное, встречное, отсутствие магнитной связи между катушками; диаграммы построены по результатам теоретического расчета параметров элементов).
А) Согласное включение (ток в катушках для каждого вида включения рассчитан ранее):
Рис. 23 Векторная диаграмма напряжений для согласного включения катушек
Б) Встречное включение
Рис. 24 Векторная диаграмма напряжений для встречного включения катушек
В) Отсутствие магнитной связи:
Рис. 25 Векторная диаграмма напряжений для индуктивно не связанных катушек
Построим векторную диаграмму напряжений для схемы на рис. 19 (на этих диаграммах вектор тока увеличен в 30 раз)
А) Для случая, если емкость конденсатора меньше резонансной (С=18,3 МКФ):
Рис. 26 Векторная диаграмма напряжений для случая, если емкость конденсатора меньше резонансной
Б) Для случая резонанса (С=Срез=28,3 МКФ):
Рис. 27 Векторная диаграмма напряжений для случая резонанса
В) Для случая, если емкость конденсатора больше резонансной (С=38,3 МКФ):
Рис. 28 Векторная диаграмма напряжений для случая, если емкость конденсатора больше резонансной
Построим векторные диаграммы для схемы на рис. 20.
А) Емкость конденсатора в схеме меньше расчетного значения и равна его половине (для первой катушки расчетное значение емкости для достижения параллельного резонанса Ф). В данном расчете считаем амперметры идеальными - их полное сопротивление равно 0. Действующее входное напряжение - 84 вольта, начальная фаза напряжения 0 градусов.
Рассчитаем токи в ветвях данной схемы:
Рис. 29 Векторная диаграмма напряжений для случая, если емкость конденсатора меньше резонансной
Б) Емкость конденсатора в схеме равна расчетному значению, при котором возникает резонанс токов.
Токи в ветвях схемы при этом можно найти по формулам:
Рис. 30 Векторная диаграмма напряжений для случая резонанса
В) Емкость конденсатора в схеме в 2 раза больше расчетного значения. Токи в схеме при этом выразятся так:
Рис. 31 Векторная диаграмма напряжений для случая, если емкость конденсатора больше резонансной
3. Исследование цепей несинусоидального тока
3.1 Цель работы
1. Выполнение разложения несинусоидального входного напряжения в ряд Фурье.
2. Расчет линейной электрической цепи с помощью метода наложения гармоник.
3. Проверка баланса мощностей.
4. Построение графиков входного напряжения и тока по результатам расчета и сравнение их с экспериментальными.
3.2 Теоретические сведения
Существует класс линейных электрических цепей, которые содержат источники периодических несинусоидальных ЭДС, напряжений или токов. Под воздействием таких источников в цепи возникают токи, которые также являются периодическими несинусоидальными функциями времени. Периодические несинусоидальные функции, как известно, описываются рядами Фурье, одна из форм которых имеет вид:
где - угловая частота функции;
T - период функции;
- нулевая гармоника, или постоянная составляющая;
- соответственно коэффициенты синусных и косинусных составляющих ряда.
При интегрировании по переменной формулы принимают вид:
Связь между этими выражениями осуществляется в соответствии с равенством .
Используя соотношение
, где ; , разложение исходной функции можно переписать в форме: где - первая (основная) гармоника;
- высшая гармоника.
Соответственно - амплитуды гармоник;
- начальные фазы гармоник;
- номер (порядок) гармоники.
Поскольку рассматриваются линейные цепи, то согласно принципу наложения действие каждой гармоники напряжения (ЭДС) источника можно считать независимым. Поэтому расчет для каждой гармоники проводится отдельно и представляет собой расчет цепи синусоидального тока на частоте соответствующей гармоники . Для нулевых гармоник применяются методы расчета цепей постоянного тока.
Например, ЭДС источника описывается рядом: .
Последовательным расчетом определяются токи соответствующих гармоник, и в конечном итоге для тока формируется ряд в форме: , по структуре аналогичный ряду для разложения напряжения.
Здесь - нулевая гармоника тока;
- первая (основная) гармоника;
- высшие гармоники тока.
В случае, когда периодическая несинусоидальная функция задана графически, например в виде осциллограммы, используется приближенный способ определения коэффициентов ряда Фурье. При этом период несинусоидальной функции , равный , разбивают на m частей и интегралы Фурье заменяют суммами:
Число интервалов m зависит от порядка конечной учитываемой гармоники. Например, если разложение заканчивается пятой гармоникой и минимальное число точек на периоде этой гармоники принять m5 = 6, то число m в формулах перехода к суммам должно быть не меньше значения .
Свойства периодических несинусоидальных функций, обладающих симметрией
Прежде чем приступить к расчету коэффициентов ряда, необходимо выяснить, не обладает ли функция симметрией относительно осей координат. Наличие того или иного вида симметрии позволяет предсказать, какие гармоники будет содержать ряд.
Если для функции выполняется условие , то функция симметрична относительно оси абсцисс (рис. 32).
Рис. 32 Функция, симметричная относительно оси абсцисс
Ряд Фурье таких функций не содержит постоянную составляющую и четные гармоники :
Функция, для которой выполняется условие
, симметрична относительно оси ординат (рис. 33) - четная функция.
Рис. 33. Функция, симметричная относительно оси ординат
В этом случае отсутствуют синусные составляющие (А1 = А2 = А3 = … = 0):
В случае выполнения условия функция симметрична относительно начала координат (рис. 34) - нечетная функция.
Рис. 34 Функция, симметричная относительно начала координат
В разложении функции отсутствуют постоянная составляющая и косинусные гармоники :
Действующие значения несинусоидальных ЭДС, напряжений и токов
Действующее (среднеквадратичное) значение периодической функции f(t)
Например, для тока в соответствии с выражением для мощности
Однако а следовательно, , или .
Учитывая, что можно записать: .
Аналогично действующее значение ЭДС
действующее значение напряжения
Как видно из этих формул, действующее значение несинусоидального тока (ЭДС, напряжения) равно корню квадратному из суммы квадратов действующих значений гармоник этого тока (ЭДС, напряжения). Действующие значения измеряются приборами электромагнитной, электродинамической, ферродинамической, электростатической и тепловой систем.
Мощности
Под активной мощностью Р понимают среднее значение мгновенной мощности
Вывод
ток напряжение четырехполюсник
В курсовом проекте на простых примерах - цепях постоянного тока - показано применение методов расчета различных электрических цепей. Причем весьма важным является то, что методы расчета цепей постоянного тока универсальны (метод узловых потенциалов, контурных токов и метод наложения) и могут использоваться для расчета любых линейных электрических цепей.
Также рассмотрено применение других фундаментальных соотношений (например, баланса мощностей), являющегося частным случаем общефизического закона сохранения энергии.
Исследование цепей синусоидального тока выполнялась с целью более глубокого изучения процессов, происходящих в линейных электрических цепях синусоидального тока, явлений резонанса, сдвига фаз между током и напряжением. При проведении расчетов широко использовался комплексный метод расчета таких цепей, который очень мощен и в то же время прост в применении при машинном способе расчета. При этом всегда следует учитывать то, что выбор конкретного метода для расчета заданной электрической цепи всегда стоит осуществлять, ориентируясь не только на ее структуру, но и учитывая глубину понимания данного метода расчета. Это в конечном итоге может сократить требуемое время для расчета, что при одинаковых результатах расчета может служить критерием оптимального способа решения.
Хотелось бы отметить, что часто расхождение между опытом и теорией оказывается довольно большим. Это связано с наличием нелинейности у электромагнитных приборов на начальном участке измерения (особенно велика) и по всей шкале (меньше) и погрешностью измерений, наличие которой подразумевается, но не учитывается количественно. Для ее уменьшения следует применять электронные приборы с линейной шкалой либо проводить все измерения осциллографом.
Проведенное исследование электрической цепи при негармоническом входном воздействии показывает, что принятый метод расчета для линейных электрических цепей - с помощью метода наложения - дает мало отличающиеся от истины результаты только при машинном способе расчета (учтено много гармоник), ввиду большой вычислительной трудоемкости. Для практических расчетов рассмотрения первых двадцати гармоник вполне достаточно.
Раздел «Четырехполюсники» представлен лишь обзорно. Более подробно он изучается в других дисциплинах.
Одной из особенностей курсового проекта по ТОЭ является то, что в нем не ставилась задача синтеза объекта (в конкретном случае - электрических цепи), а только его анализа теоретически и на практике.
По ходу выполнения работы получены навыки моделирования линейных электрических цепей на компьютере (использовалась программа Micro-Cap 7) и расчетов в интегрированной системе MATHCAD, которые будут весьма полезны при изучении специальных дисциплин на старших курсах.
Список литературы
1. Зажирко В.Н., Петров С.И., Тэттэр А.Ю. / Под ред. В.Н. Зажирко. Режимы постоянного и синусоидального токов в линейных электрических цепях. Учебное пособие / Омский государственный университет путей сообщения. Омск, 1999. 108 с.
2. Периодические режимы однофазных и трехфазных электрических цепей: Учебное пособие / В.Н. Зажирко, Т.В. Ковалева, А.Ю. Тэттэр, В.Т. Черемисин; Под ред. В.Н. Зажирко / Омский государственный университет путей сообщения. Омск, 1998. 126 с.
3. Четырехполюсники: методические указания и задания для самостоятельной работы студентам специальностей 2101, 2102, 10.04, 17.09.06 / В.Н. Зажирко, А.Ю. Тэттэр - Омский институт инженеров ж.-д. транспорта, 1990 - 40 с.
4. Основы теории цепей./ Учебное пособие. - М.: ИП РАДИОСОФТ, 2002. - 288 с.: ил.