Исследование спектра собственных частот ионосферно-магнитосферного альвеновского резонатора. Расчет сдвига резонансных частот методами теории возмущений. Этапы решения данной задачи при сферически слоистой модели околоземного космического пространства.
Аннотация к работе
Важным инструментом в индикации ЧС различного типа, таких как извержения вулканов, землетрясения, промышленные взрывы; космические, наземные и подземные ядерные взрывы, сигналы от стартов ракет и возникающие при полете ракет с включенными двигателями является ионосферно-магнитосферный альвеновский резонатор (ИМАР) [1]. Ранее [2-5] мы рассматривали модель геомагнитного поля, более близкую к реальности по сравнению с работами[5-8], в которых изучалась плоскослоистая модель ионосферы, а угол наклона силовой линии геомагнитного поля полагался постоянным. В моделях [2-4] силовые линии поля качественно правильно описывали поведение реальных силовых линий, но не достаточно точно описывались многие свойства этих линий, например, длину, густоту и т.п. Здесь h - координата вдоль силовой линии геомагнитного поля, отсчитываемая от поверхности Земли, ?=cos?/cos?, ? - угол, который составляет силовая линия геомагнитного поля по отношению к вертикали (радиальному направлению). Рассмотрим асимптотическое разложение решения уравнения (6) по параметру 1/а при а>?, и в главном приближении уравнение (6) принимает вид: Исследуем решения этого уравнения для модели среды описанной выше, аналогично тому, как это было сделано в работе [4].Тогда учитывая, что имеем: Здесь h2 - постоянная определяемая из граничных условий, ?a и ?b координаты пересечения силовой линией поля окружностей радиусами r = a и r = b; h0 - длина отрезка силовой линии геомагнитного поля в ионосфере и h1 - длина части силовой линии расположенная в магнитосфере (?b ? ? ? ?-?b).Методами теории возмущений показано, что сдвиг резонансных частот в уточненной модели может достигать заметной величины.
Введение
Важным инструментом в индикации ЧС различного типа, таких как извержения вулканов, землетрясения, промышленные взрывы; космические, наземные и подземные ядерные взрывы, сигналы от стартов ракет и возникающие при полете ракет с включенными двигателями является ионосферно-магнитосферный альвеновский резонатор (ИМАР) [1]. Этот объект в настоящее время мало изучен. В данной работе мы продолжаем развивать физико-математическую теорию ИМАР.
Ранее [2-5] мы рассматривали модель геомагнитного поля, более близкую к реальности по сравнению с работами[5-8], в которых изучалась плоскослоистая модель ионосферы, а угол наклона силовой линии геомагнитного поля полагался постоянным.
В моделях [2-4] силовые линии поля качественно правильно описывали поведение реальных силовых линий, но не достаточно точно описывались многие свойства этих линий, например, длину, густоту и т.п. В настоящей публикации мы более правильно и корректно рассмотрим именно случай дипольного геомагнитного поля.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим магнитное поле Земли в дипольном приближении:
Здесь r - расстояние от центра диполя до точки наблюдения, - единичный вектор в направлении на точку наблюдения, M=8,19·1022А·м2 - магнитный момент диполя, ?0 - магнитная постоянная. Если ось z направлена в местный зенит, и ось x лежит в плоскости магнитного меридиана и направлена в сторону юга:
где геомагнитная широта. Введем сферическую систему координат (r, ?, ?) с центром расположенным в центре Земли, а угол ? отсчитывается от направления оси соединяющей южный и северный магнитные полюса, в результате получим: (1)
В публикациях [2-4] мы для поля дипольного типа полагали:
Это существенно упрощало вычисления, но не позволяло получить более правильные численные результаты. В настоящей работе мы проведем анализ на основе формулы (1).
Будем описывать распространение гидромагнитных волн в ионосфере и магнитосфере (околоземном космическом пространстве) используя систему уравнений Максвелла для временных спектральных компонент принимая зависимость от времени в форме exp (-i?t), тогда rot E = i??0H, rot H = ?11E11 ? E ?H(E ?h). (2)
Здесь, E и H электромагнитные поля волны, h - единичный вектор в направлении геомагнитного поля, E11 и E компоненты электрического поля волны параллельные и перпендикулярные по отношению h; ?11, ? , и ?H компоненты тензора проводимости плазмы.
Будем рассматривать низкочастотный диапазон f=(0,01 - 10) Гц. В этом диапазоне мы считаем, что | ?11| > ?, E11=0 (?11E11?0). Таким образом, Er=-(E?h? E?h?)/hr в сферической системе координат (r, ?, ?).
Мы полагаем, что свойства среды, так же как и свойства полей не зависят от угла ?, распространение происходит в плоскости геомагнитного меридиана, ?/??=0, h?=0. Чтобы сделать решение этой проблемы более наглядной именно в том аспекте, который для нас наиболее интересен - развитие концепции ИМАР, мы будем пренебрегать величиной компоненты тензора проводимости ?H. Взаимодействие мод волновода и резонатора возникающее на гиротропном Е-слое ионосферы было ранее проанализировано нами в монографии [8]. Там, было показано, что это взаимодействие экспоненциально мало. Поле моды БМЗ-волновода сосредоточено (max-поля) в области F2 и выше. При этом слой Е, особенно в ночных условиях, мало влияет на свойства этой моды и в первом, и даже во втором приближении его можно не учитывать. Можно ввести, конечно, коэффициент слабой связи между модами ИМАР и БМЗ-волновода, но влияние при этом на свойства мод ИМАР будет мало.
Тогда систему уравнений (2) можно записать в форме: (3)
Здесь введены следующие обозначения: и т.д., ? , k - волновое число среды. Уравнения (3), соответствующие поляризации , описывают распространение быстрой магнитозвуковой волны. Именно влияние сферичности на распространение этой волны, в ионосферном МГД-волноводе, было проанализировано нами в публикации [9].
Решение системы уравнений (3), которое описывает распространение волны Альвена, имеющей поляризацию , и является предметом настоящей работы.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Введем модифицированный сферический импеданс для альвеновской волны в соответствии с формулой здесь L - константа, имеющая размерность длины. Будем предполагать в дальнейшем, что ? зависит только от координаты r и не зависит от координаты ?. Далее после некоторых преобразований, в частности, используя тождество , мы получим для волн рассматриваемой поляризации, вместо (3), одномерное уравнение вдоль силовой линии геомагнитного поля для определения импеданса: (4)
Здесь h - координата вдоль силовой линии геомагнитного поля, отсчитываемая от поверхности Земли, ?=cos?/cos?, ? - угол, который составляет силовая линия геомагнитного поля по отношению к вертикали (радиальному направлению).
Практически во всех теоретических работах изучающих ионосферный альвеновский резонатор ИАР (см., например, [6,7]) этот угол считается постоянным. В настоящей работе мы рассмотрим существенно более реалистическую модель геомагнитного поля (1) полагая
(5)
РЕШЕНИЕ В СЛУЧАЕ КОНЕЧНОГО РАДИУСА ЗЕМЛИ
Сделаем замену переменных в уравнении (4) полагая , тогда имеем: (6)
Построим решение, основываясь на уравнении (6). В общем случае, например, если величина k (h) или ? (h) заданы в форме таблицы, уравнение (6) может быть решено численно. Тем не менее, аналитическое исследование решений этого уравнения представляет несомненный интерес. Для выполнения этого исследования рассмотрим модель среды, включающую в себя следующие элементы: бесконечно проводящую поверхность Земли (r=a); анизотропный слой с комплексным волновым числом k=const, учитывающим джоулевы потери, расположенный в области a?r?b (b-a=l) (ионосфера); и анизотропное пространство, без джоулевых потерь, с волновым числом k1=const заполняющее область r?b (магнитосфера).
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ИМПЕДАНСА
Рассмотрим асимптотическое разложение решения уравнения (6) по параметру 1/а при а>?, и в главном приближении уравнение (6) принимает вид:
Исследуем решения этого уравнения для модели среды описанной выше, аналогично тому, как это было сделано в работе [4].Тогда учитывая, что имеем:
Здесь h2 - постоянная определяемая из граничных условий, ?a и ?b координаты пересечения силовой линией поля окружностей радиусами r = a и r = b; h0 - длина отрезка силовой линии геомагнитного поля в ионосфере и h1 - длина части силовой линии расположенная в магнитосфере (?b ? ? ? ?-?b). При расчетах будем полагать, а=6400 км, b=7000 км. Нетрудно показать, что для выбранной модели геомагнитного поля уравнение силовой линии, проходящей через точку с координатами (a, ?a), имеет вид r =a (sin ?)2 / (sin ?a)2. Предыдущая, более простая модель [4], давала зависимость r =a sin ? / sin ?a . Координата h вдоль силовой линии геомагнитного поля в рассматриваемом случае определяется по формуле:
(Сравним для предыдущей модели , что существенно упрощало решение задачи.) Удовлетворяя граничным условиям при ?=?b (h=h0) и ?=?-?b (h=h0 h1), из уравнений (8) и (9) получим: (11)
Из уравнений (11) найдем дисперсионное уравнение для собственных частот ионосферно-магнитосферного альвеновского резонатора (ИМАР) в форме
(12)
Здесь CA1= ?/k1 - альвеновская скорость в магнитосфере, CA= ?/k - альвеновская скорость в ионосфере. Решения уравнений (8), (9), (12) - будут приняты нами в качестве исходного приближения. Очевидно, что при |M|>? уравнение (12) имеет две независимых серии корней. Первая находится из уравнения и определяет собственные частоты магнитосферного альвеновского резонатора (МАР), корни второй серии являются двукратно вырожденными и определяются из уравнения . Эти корни соответствуют спектру собственных частот ИАР. При конечном значении параметра |M| (обычно ~100 - 200) вырождение снимается, и частоты расщепляются. При этом более корректно рассматривать единый объект ИМАР, и определять его собственные частоты, решая уравнение (12) численно.
Следующее приближение решения нелинейного уравнения Рикатти (6) в тех характерных областях можно построить, формально разлогая это решение по параметру, ? вводимому в соответствии с формулой ?(h)=
Тогда собирая члены одинаковыми степенями ?, с точностью до поправок первого приближения имеем:
Здесь
Очевидно (13) совпадает с (7), а решение (14) может быть найдено по формуле:
Решение проходит через точку(h0,U1(h0)). В трех характерных областях для поправок первого приближения получим:
Здесь п=0, 1; h2=2h0 h1, h4= h2/2. Потребовав непрерывности модифицированного импеданса на границах сферических слоев, получим дисперсионное уравнение (два уравнения) для определения собственных частот ИМАР. Эти уравнения, при переходе от интегрирования по h к интегрированию по ?, имеют вид:
ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ДИСПЕРСИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
Комплексное трансцендентное дисперсионное уравнение (21) решалось методом Ньютона для характерных параметров задачи соответствующих условиям ночной ионосферы. Эти параметры выбраны нами следующим образом CA1= 5160 км/с, M = 144(1 i?in/?), где M=k2/k12=CA12/CA2 - большой параметр (|M|>>1), ?in=0,03с-1(некоторая средняя эффективная частота соударений ион - нейтрал в ионосфере), ?a=60о (магнитная широта 40о). Мы выбрали случай средних и низких широт, так как именно здесь концепция ИМАР работает наиболее эффективно [10]. Результаты вычислений сведены нами в таблицу.
Таблица
Номер резонанса Резонансные частоты Гц, ?a=60o n ИМАР МАР ИМАР ИАР Примечание Добротности мод Qn
При учете первой поправки резонансные частоты начинают сгущаться в полосы границы которых показаны в таблице. Здесь же приведены частоты ИМАР рассчитанные при аналогичных условиях в соответствии с уравнением (12), а так же частоты ИАР (ионосферного альвеновского резонатора) и МАР (магнитосферного альвеновского резонатора) полученные из (12) при М>?. Эти результаты сопоставлены с расчетами резонансных частот ИМАР - резонатора с добавленными поправками от теории возмущений. В таблице приведены так же добротности мод и относительный сдвиг резонансных частот при переходе от ИМАР к ИМАР .
Вывод
спектр частота ионосферный резонатор
1. Методами теории возмущений показано, что сдвиг резонансных частот в уточненной модели может достигать заметной величины.
2. Спектр изменяется не только количественно, но и качественно.
3. Появляются узкие полосы прозрачности, что эквивалентно формированию сплошного спектра ИМАР наряду с наличием дискретного.
4. Полученные результаты могут быть отправным пунктом для численного решения задачи о нахождении резонансных частот ИМАР при сферически слоистой модели околоземного космического пространства.
Список литературы
1. Артамонов В.С., Овчинников А.О., Шилин К.Ю. Применение гидромагнитной диагностики к решению фундаментальной проблемы индикации и предсказаний ЧС. Материалы II-ой Международной научно-практической конференции: Сервис безопасности в России. 29-31 октября 2009 года. Т.1. Санкт-Петербург. 2009. с. 92-95.
2. A.O.Ovchinnikov. The joined theory of the ionospheric and the magnetospheric Alfven resonators. XXV th GA URSI. Abstracts, p. 647. Lille. France. 1996.
3. A.O.Ovchinnikov Ionospheric-magnetospheric Alfven resonator (IMAR). AMEREM 2002. International symposium. Abstracts. Annapolis. Maryland. USA. P. 46. 2002.
4. Овчинников А.О. Ионосферный альвеновский резонатор в случае сферической модели поверхности Земли. // Геомагнетизм и аэрономия. Т. 39. № 1. С. 67 - 71. 1999.
5. Поляков С.В., Раппопорт В.О. Ионосферный альвеновский резонатор // Геомагнетизм и аэрономия. Т. 21. № 5. С. 816 - 822. 1981.
6. Руденко Г.В. Численное исследование альвеновского резонатора в ионосфере // Изв. вузов. Сер. Радиофизика. Т. 33, № 2. С. 155-163. 1990.
7. Prikner K., Vagner V. The ionosphere as an Alfven resonator in the Pc 1 micropulsation range // Studia geop. Et geod. Vol. 34. P. 342 - 361. 1990.
8. Овчинников А.О., Островский В.Н. Теория ионосферного МГД - волновода. (Монография) СПБ. 1992. Изд. С.-Петербургского университета. 188 с.
9. Овчинников А.О. Сферический ионосферный МГД-волновод. // Изв. вузов. Сер. Радиофизика. Т. 34. № 8. С. 863-871. 1991.
10. T. Bosinger, A.G. Demekhov, V.Y. Trakhtengerts. Fine structure in ionospheric/magnetospheric Alfven resonator spectra at low latitudes // Geophys. Res. Lett., Vol. 31, L 18802, doi: 10.1029/2004 GL020777, 2004.