Решение системы дифференциальных уравнений переходных процессов в RLC-цепи численным методом. Анализ графиков в Excel. Расчет переходного процесса в математическом пакете MathCad по точным формулам. Разработка программы на языке программирования Pascal.
Аннотация к работе
Под переходным процессом или режимом в электрических цепях понимается процесс перехода цепи из одного установившегося состояния в другое. При установившихся, режимах в цепях постоянного тока напряжения и токи неизменны во времени, а в цепях переменного тока они представляют собой периодические функции времени. Следовательно, источники постоянного напряжения (или тока) создают в цепи постоянный ток, а источники переменного напряжения (или тока) - переменный ток той же частоты, что и частота источника энергии. Тем не менее, изучение переходных процессов весьма важно, так как оно дает возможность установить, как деформируются по форме и амплитуде сигналы при прохождении через усилители, фильтры и другие устройства, позволяет выявить превышения напряжения на отдельных участках цепи, которые могут оказаться опасными для изоляции установки, увеличения амплитуд токов, которые могут в десятки раз превышать амплитуду тока установившегося периодического процесса, а также определить продолжительность переходного процесса. Ключ К1 расположен возле источника тока и выполняет роль включателя (выключателя) тока в цепи.По первому закону коммутации, если в контуре имеется индуктивность, то в момент времени ток будет равен нулю , так как он является непрерывной функцией времени и не может изменяться скачком, поэтому после коммутации он имеет такое же значение, как и перед коммутацией Напряжение на емкости тоже равно нулю , так как по второму закону коммутации напряжение на емкостном элементе не может изменяться скачком, следовательно, после коммутации оно имеет такое же значение, как и перед коммутацией. Задав начальные условия, мы можем определить значения силы тока и напряжения на конденсаторе в любой момент времени, то есть решить задачу Коши. Используя формулы (9) рассчитаем коэффициенты k1u, k1i: k1u=J16*$G$6/$A$14 k1i= (U-J16*$D$14-K16) *$G$6/$A$14 где J16 - адрес ячейки со значением силы тока; $D$14 - адрес ячейки со значением сопротивления, K16 - адрес ячейки со значением напряжения на конденсаторе, A$14 - адрес ячейки со значением индуктивности; $G$6 - адрес ячейки со значением шага интегрирования. На рисунках 2 и 3 видно, что при разных значениях сопротивления R графики получились, различны: при значении сопротивления 5 Ом графики описывают затухающий колебательный процесс (Рис.2), при значении сопротивления 56 Ом один из графиков описывает пограничный процесс (напряжение на индуктивности совершает небольшой скачек, затем падает до 0), второй график описывает апериодический процесс (Рис.3).Таблица расчетов в Excel. Таблица 1. Таблица 2. Таблица 3. Begin put: = "G: \tabpas.
План
Оглавление
Задание к курсовой работе
Введение
1. Решение системы дифференциальных уравнений RLC-цепи численным методом
Анализ графиков в Excel
Расчет переходного процесса в математическом пакете MATHCAD по точным формулам
Пример расчета в MATHCAD
Анализ графиков MATHCAD
Заключение по проделанной работе
Список использованной литературы
Приложение
Введение
Под переходным процессом или режимом в электрических цепях понимается процесс перехода цепи из одного установившегося состояния в другое. При установившихся, режимах в цепях постоянного тока напряжения и токи неизменны во времени, а в цепях переменного тока они представляют собой периодические функции времени. Установившиеся режимы при заданных и неизменных параметрах цепи полностью определяются только источником энергии. Следовательно, источники постоянного напряжения (или тока) создают в цепи постоянный ток, а источники переменного напряжения (или тока) - переменный ток той же частоты, что и частота источника энергии.
Переходные процессы обычно являются быстро протекающими; длительность их составляет десятые, сотые, а иногда миллиардные доли секунды. Тем не менее, изучение переходных процессов весьма важно, так как оно дает возможность установить, как деформируются по форме и амплитуде сигналы при прохождении через усилители, фильтры и другие устройства, позволяет выявить превышения напряжения на отдельных участках цепи, которые могут оказаться опасными для изоляции установки, увеличения амплитуд токов, которые могут в десятки раз превышать амплитуду тока установившегося периодического процесса, а также определить продолжительность переходного процесса.
В данном случае переходной процесс будет протекать в электрической цепи (рис.1), которая состоит из емкостей C1=400 МКФ, C2=1000 МКФ, постоянной индуктивности L=0,7 Гн, сопротивлений R1=5 Ом, R2=56 Ом и источника электродвижущей силы (ЭДС) Е=120 В.
Внутреннее сопротивление источника ЭДС равно нулю. Элементы соединены последовательно при помощи трек ключей К1, К2 и К3. Ключ К1 расположен возле источника тока и выполняет роль включателя (выключателя) тока в цепи.
Ключ К2 расположен возле сопротивлений R1 и R2, включенных параллельно.
Таким образом, от положения ключа К2 зависит какое сопротивление подключено. Аналогично с ключом К3, только при помощи него мы переключаемся на различные емкости (С1, С2).
В данной курсовой работе должны быть рассчитаны зависимости тока и напряжений на элементах RLC-цепи от времени, построены графики токов и напряжений для различных значений сопротивления резистора и емкости конденсатора.
Для выполнения поставленной задачи введены расчетные соотношения для RLC - цепи путем применения законов Кирхгофа.
Закон Кирхгоффа: "Алгебраическая сумма падений напряжений по любому замкнутому контуру цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих вдоль этого же контура".
Из второго закона Кирхгоффа для произвольного момента времени получаем: (1) где - изменение напряжения на индуктивности, описываемое дифференциальным уравнением первого порядка. (Справочник по теоретической электротехнике), - напряжение на активном сопротивлении.
Таким образом формула (1) приобретает следующий вид: (2)
Определяем ток на емкостном сопротивлении, а так как соединение контура последовательное, то этот ток будет равен току контура. (Справочник по теоретической электротехнике): (3)
Преобразуя формулы (2) и (3) получаем систему дифференциальных уравнений первого порядка: (4)
Решение полученной системы дифференциальных уравнений является задачей данной работы, которое будет осуществляться методом Рунге-Кутта четвертого порядка. В результате решения получим значения тока в цепи и напряжения на конденсаторе.
Для того чтобы найти напряжение на активном сопротивлении, применим закон Ома для участка цепи. (Справочник по теоретической электротехнике):
Напряжение на катушке индуктивности получим путем приведения выражения (1) к виду:
Согласно первому закону коммутации ток в ветви с индуктивным элементом в начальный момент времени и после коммутации имеет то же значение, какое он имел непосредственно перед коммутацией. В течение переходного процесса значение начинает плавно изменяться. Это обычно записывают в виде IL (0-) = IL (0 ), считая, что коммутация происходит мгновенно в момент t = 0.
Напряжение на резисторе зависит от силы тока, поэтому оно равно нулю, так как в начальный момент времени t=0 ток в цепи равен нулю. Так же в начальный момент времени конденсатор разряжен, соответственно напряжение на нем равно ноль. Поэтому согласно полученному из второго закона Кирхгоффа выражению (1) напряжение на индуктивности равно напряжению источника, т.е. Е.
Список литературы
1. Метод. Лабораторные работы по курсу Вычислительная математика и применение ЭВМ. Издание ЛГИ им. Г.В. Плеханова, 1987 г.
2. Пискунов П.С. "Дифференциальное и интегральное исчисления" Т.1 Л. 1983 г.