Розгляд крайової задачі для нелінійного рівняння другого порядку. Вивчення різницевого методу розв"язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Метод прогонки - окремий випадок методу Гауса. Програма на алгоритмічній мові Turbo Pascal.
Аннотация к работе
(1) на відрізку , у якій додаткові умови накладаються на значення функції U(x) і її похідних більш ніж в одній точці цього відрізка. Розглянемо крайову задачу для нелінійного рівняння другого порядку: (2) з крайовими умовами першого роду. Наближено виразимо другу похідну від розвязку через значення розвязку у вузлах сітки наприклад, скористаємося найпростішою апроксимацією: (3) Таку апроксимацію можна записати в кожному внутрішньому вузлі сітки xn, Якщо підставити її в рівняння (2), то рівняння стане наближеним; точно задовольняти цьому рівнянню буде вже не шуканий розвязок U(x), а деякий наближений розвязок Виконуючи цю підстановку, отримаємо систему нелінійних алгебраїчних рівнянь (4) останні два рівняння апроксимують крайові умови.Найбільш важливим окремим випадком методу Гауса є метод прогонки, застосовуваний до систем лінійних алгебраїчних рівнянь із тридіагональною матрицею. Метод прогонки зводиться до відшукання невідомих з наступних рекурентних співвідношень: (8) Однак перед цими величинами у формулах стоять множники, рівні нулю.Дано крайову задачу: де та Для цієї задачі необхідно: 1) застосовуючи різницевий метод одержати наближений розвязок у вузлах сітки на заданому відрізку; 2) визначити вузлові значення наближеного розвязку системи алгебраїчних рівнянь за допомогою метода послідовних наближень у сполученні з методом прогонки Алгоритм розвязання нелінійної крайової задачі на основі різницевого методу необхідно реалізувати у вигляді програми на мові Turbo Pascal.y,y0:array[0..n 1] of real; function f(u,v:real):real; begin if u>0 then st:=exp(ln(u)/3) else if u<0 then st:=-exp(ln(-u)/3) else st:=0; ksi,eta:array[0..n 1] of real; begin ksi[0]:=0; eta[0]:=0;Таблиця(наближений розвязок крайової задачі для різної кількості вузлів та ітерацій) xi k=4 k=1 n=10 n=20 n=30 n=40 yi yi yi yiyiВисновки: за період проходження навчально-обчислювальної практики я ознайомився з чисельними методами розвязання крайових задач зокрема з різницевим методом.
План
Зміст
I. Теоретична частина
I.1. Різницевий метод розвязання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь
I.2. Метод прогонки
II. Практична частина
II.1. Формулювання завдання
II.2. Лістинг програми на алгоритмічній мові Turbo Pascal
II.3. Результати обчислень
Висновки
Список використаної літератури
I. Теоретична частина
I.1 Різницевий метод розвязання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь
Крайова задача - це задача відшукання часткового розвязку рівняння
Вывод
Висновки: за період проходження навчально-обчислювальної практики я ознайомився з чисельними методами розвязання крайових задач зокрема з різницевим методом. Для індивідуального варіанту завдання був знайдений розвязок крайової задачі з заданою правою частиною. Розрахунок здійснювався за допомогою програми на мові Turbo Pascal. Різницевий метод виявився доволі простим в реалізації на алгоритмічній мові та дав швидку збіжність.
Список литературы
1. Калиткин Н. Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. - 512 с.
2. Самарский А. А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1989. - 616 с.
3. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. - М.: Наука, 1978. - 592 с.
4. Рапаков Г. Г., Ржеуцкая С. Ю. Программирование на языке Pascal. . - СПБ.: БХВ-Петербург, 2005. - 480 с.