Дослідження прямих та обернених спектральних задач, що пов’язані з малими демпфованими коливаннями струн та стержнів скінченної та нескінченної довжини. Розгляд розташування спектрів поліноміальних в’язок. Вивчення теорії цілих функцій Ерміта-Білера.
Аннотация к работе
Національна академія наук України Дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наукРобота виконана в Одеській державній академії будівництва та архітектури МОН України Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України Березанський Юрій Макарович, Інститут математики НАН України, головний науковий співробітник; доктор фізико-математичних наук, професор Кац Ізраіль Самойлович, Одеська державна академія харчових технологій, професор кафедри вищої математики; доктор фізико-математичних наук, професор Кожухар Петро Олександрович (Cojuhari Petru), University of Mining and Metallurgy, Krakow, Poland, професор.Даффіна, в котрій був запроваджений клас сильно демпфованих вязок у скінченновимірному просторі, повязаний з задачею про коливання механічних систем з великим тертям. Інколи (в задачах про коливання пружного півциліндра та півсмуги) важливо знати - сумарну алгебраїчну кратність дійсного спектра вязки (оскільки кількість умов, котрі слід накласти на початкові умови для існування обмеженого розвязку, дорівнює ). Так спектр сильно демпфованої квадратичної вязки - суто уявний, а спектр слабко демпфованої вязки не перетинає уявну вісь. В термінах теорії операторних вязок цю теорему можна подати так: спектр квадратичної вязки, де Мілославським доведене аналогічне твердження для вязки, що виникає в задачі про малі коливання пружного трубопроводу, що несе сталий потік ідеальної рідини.A складається з нормальних власних значень; всі оператори, числа, оператори K підпорядковані оператору В цьому ж підрозділі досліджується спектр цієї вязки в замкненій лівій півплощині при різних співвідношеннях між параметрами - нижньою гранню оператора Тоді сумарна алгебраїчна кратність спектра вязки, розташованого у відкритій правій півплощині, збігається з сумарною алгебраїчною кратністю відємного спектра оператора У підрозділі 3.1 розглядається вязка у якій - спектральний параметр, параметр оператори B та K підпорядковані оператору У підрозділі 4.2 розглянута задача, яку породжує рівняння (2) та крайові умови Доведено що при a спектр такої задачі лежить у півплощині, де деяке додатне число.До цієї крайової задачі шляхом перетворення Ліувілля зводиться (у деякому частковому випадку) задача опису малих коливань системи трьох натягнутих струн, що зєднаниі у формі зірки. Ця ж задача зустрічається у теорії квантових хвильоводів. Поряд з задачею (27 (28, (29), (30) розглянемо три задачі Діріхле: породжені тією ж трійкою потенціалів {q }. Позначимо через, спектр задачі (27 (28 (j=1,2,3), (29), (30), а через правильно занумероване обєднання спектрів задач (27 ; (27 та (27 . Послідовності чергуються: Тоді існує єдина трійка дійсних потенціалів q (x) (j=1,2,3), що породжує задачу зі спектром та задачі зі спектрами .У підрозділі 7.1 розглянуто спектр крайової задачі на півосі наступного виду: де 1) функція q(x) неперервна на півосі; Індексом суто уявного власного значення назвемо кількість коренів, які має відповідна власна функція на інтервалі. Кожному власному значенню з відкритої нижньої півплощини (суто уявному) відповідає хоча б одне суто уявне власне значення з відкритої верхньої півплощини з тим самим індексом. За певних умов гладкості струни та умов на коефіцієнт тертя перетворенням Ліувілля цю задачу можна звести до задачі з підрозділу 7.1 з деякими обмеженнями на q(x), внаслідок яких власні значення у нижній півплощині відсутні. Якщо функції q(x) та p(x) задовольняють нерівності то задача (41), (42) не має власних значень.Істотний спектр задачі, породженої рівнянням (43), вкриває дійсну вісь та відрізок Можуть існувати також нормальні власні значення. Використовуючи обернене перетворення, отримуємо дволистну ріманову поверхню з розрізом вздовж дійсної осі від до - m та від m до . Доведено, що за умов p(x), q(x) рівняння (44) мають йостівські розвязки з асимптотиками: Коефіцієнти розсіяння визначені за допомогою наступних асимптотик: У цьому підрозділі розглянуті аналітичні властивості коефіцієнтів розсіяння, які використані у наступному підрозділі. У підрозділах 8.3 та 8.4 доведено, що функції задовольняють інтегральним рівнянням типу Марченка. У підрозділі 8.5 отримані достатні умови, за яких обернена задача знаходження функцій p(x) та q(x) за даними розсіяння має єдиний розвязок.