Производная функция. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной. Производные от элементарных функций. Изучение функций с помощью производной. Максимум и минимум функции. Точки перегиба. Дифференциал.
Аннотация к работе
Производной данной функции в точки х называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента в точке х, когда приращение аргумента стремится к нулю. Справедлива обратная теорема, выражающая геометрический смысл производной: если функция y=f(x) имеет определенную производную в точке х, то: 1) в этой точке имеется касательная к графику функции, 2) угловой коэффициент ее равен значению производной f "(x) в точке х. В промежутке a<x<b возрастания (или убывания) функции не существует никакого отрезка а ? х ? b1 (a<a1<b1<b), во всех точках которого производная равна нулю, так как если бы f "(x) = 0 на отрезке a1 ? х ? b1 то функция f(x) имела бы одно и то же значение во всех точках этого отрезка, т. е. не была бы возрастающей (или убывающей). Данная функция непрерывна в точке c, поэтому число f(с) есть общий предел для f(c - ?x) и f(c ?x) при ?x > 0 (как и в предыдущей теореме, здесь и в последующем 0 <?x< ?): Данная функция f(x) в левой полуокрестности точки с - возрастающая, так как ее производная слева от точки с положительна, а в правой полуокрестности - убывающая, так как ее производная справа от точки с отрицательна (черт.), и вследствие этого ее значения f(c-?x) и f(c ?x) возрастают при стремлении ?x к нулю (по определению убывающей функции, меньшему значению аргумента отвечает большее значение функции, т. е. при x1>x2 f(x1)<f(x2)).
Изучение функций с помощью производной: …………………………………….9
Признаки постоянства, возрастания и убывания функций ……………………9
Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин ……….11
Максимум и минимум функции ……………………………………………….12
Признаки существования экстремума …………………………………………12
Правило нахождения экстремума ……………………………………………...14
Нахождение экстремума при помощи второй производной …………………14
Направление вогнутости кривой ………………………………………………16
Точки перегиба ………………………………………………………………….17
Механическое значение второй производной ………………………………...18
Дифференциал: ………………………………………………………………………19
Сравнение бесконечно малых ………………………………………………….19
Дифференциал функции ………………………………………………………..19
Дифференциал аргумента. Производная как отношение дифференциалов ...21
Приложения понятия дифференциала к приближенным вычислениям …….22
Список литературы
М64 И. Ф. Суворов “Курс высшей математики для техникумов”. М.: Просвещение, 1964.
М 71 В. В. Ткачук “Математика-абитуриенту”. М.: Просвещение, 1980.
P60 Д. Е. Родионов, Е. М. Родионов “Стереометрия в задачах”. М.: Учебный центр “Ориентир” - “Светоч”, 1998.
P60 В. А. Колесников. “Физика. Теория и методы решения конкурсных задач. Часть II”. М.: Учебный центр “Ориентир” - “Светоч”, 2000.
Л77 Л. М. Лоповок “1000 проблемных задач по математике”. М.: Просвещение, 1995.
М89 Д. Т. Письменный “Математика для старшеклассников. Теория\задачи”. М.: “Айрис”, “Рольф”, 1996.
С 82 М. Я. Выгодский “Справочник по элементарной математике”. Спб.: Союз, 1997.
В20 В. И. Васюков, И. С. Григорьян, А. Б. Зимин, В. П. Карасева “Три подсказки - и любая задача решена! Часть III”. М.: Учебный центр “Ориентир” при МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000.
Э 61 В. А. Чуянов “Энциклопедический словарь юного физика”. М.: Педагогическа-Пресс, 1999.
Б 27 А. Б. Басков, О. Б. Баскова, Н. В. Мирошин “Математика. Часть 2. Алгебра и начала анализа”. М.: МИФИ, 1997.