Геометрический смысл производной. Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции. Таблица элементарных производных. Признаки постоянства, возрастания и убывания функций. Максимум и минимум функции. Признаки существования экстремума.
Аннотация к работе
Производная функцияПроизводной данной функции в точки х называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента в точке х, когда приращение аргумента стремится к нулю. Справедлива обратная теорема, выражающая геометрический смысл производной: если функция y=f(x) имеет определенную производную в точке х, то: 1) в этой точке имеется касательная к графику функции, 2) угловой коэффициент ее равен значению производной f "(x) в точке х. В промежутке a<x<b возрастания (или убывания) функции не существует никакого отрезка а ? х ? b1 (a<a 1<b1<b), во всех точках которого производная равна нулю, так как если бы f "(x) = 0 на отрезке a1 ? х ? b1 то функция f(x) имела бы одно и то же значение во всех точках этого отрезка, т. е. не была бы возрастающей (или убывающей). Данная функция непрерывна в точке c, поэтому число f(с) есть общий предел для f(c - ?x) и f(c ?x) при ?x > 0 (как и в предыдущей теореме, здесь и в последующем 0 <?x< ?): Данная функция f(x) в левой полуокрестности точки с - возрастающая, так как ее производная слева от точки с положительна, а в правой полуокрестности - убывающая, так как ее производная справа от точки с отрицательна (черт.), и вследствие этого ее значения f(c-?x) и f(c ?x) возрастают при стремлении ?x к нулю (по определению убывающей функции, меньшему значению аргумента отвечает большее значение функции, т. е. при x1 >x2 f(x1)<f(x2)) 4) если производная положительна в промежутке, лежащем слева от данной стационарной точки, и отрицательна в промежутке, лежащем справа от нес, то данная точка есть точка максимума функции, если же производная отрицательна слева и положительна справа от данной стационарной точки, то данная точка есть точка минимума функции; если производная имеет один и тот же знак как слева, так и справа от стационарной тонки, то в этой точке нет ни максимума, ни минимума, функции;Это означает, что при малых изменениях аргумента (от начального значения х) величину изменения функции y=f(x) можно приближенно считать пропорциональной величине изменения аргумента с коэффициентом пропорциональности, равным значению производной f "(x); кривую y=f (x) при этом можно приближенно заменить касательной к ней в точке х. Найдите площадь треугольника AMB, если A и B - точки пересечения с осью OX касательных, проведенных к графику y = (9-x2)/6 из точки M(4;3). В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1 C1D1 с ребрами CD = 24, AD= 6 и DD 1 =4 проведена плоскость через центр симметрии грани A1B1C1D1 , вершину А и точку Р, лежащую на ребре DC. Выберите на AC точку М так, чтобы площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку M, середину ребра TC и вершину B, была наименьшей, если AB=BC=AC=TC=2. Между боковой гранью пирамиды и сферой расположена правильная четырехугольная призма, одно из оснований которой (ближнее к центру сферы) лежит в плоскости боковой грани пирамиды, а вершины другого основания принадлежат сфере.