Основные определения и теоремы производной, дифференциала функции; техника дифференцирования. Применение производных к вычислению пределов. Исследование функции на монотонность и точки локального экстремума. Полное исследование функции, асимптоты графика.
Аннотация к работе
Если существует предел отношения приращения функции в точке к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, то величина этого предела называется производной функции в точке и обозначается или . Так как предел в правой части формулы (1) может не существовать, а в случае существования быть конечным или бесконечным, то в зависимости от этого функции делятся на дифференцируемые и не дифференцируемые в заданной точке. Функция называется дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда у нее существует конечная производная в точке , то есть существует конечный предел Функция является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда ее приращение в точке может быть представлено в виде: , где Главная, линейная относительно часть приращения функции в точке называется дифференциалом функции в точке и обозначаетсяНа практике для того чтобы найти производную заданной функции (продифференцировать функцию), необходимо знать таблицу производных основных элементарных функций, приведенную выше и правила дифференцирования, содержащиеся в теоремах 1.2 и 1.3. А значит, для дифференцирования такой конструкции применим правило дифференцирования 1) (производная константы, умноженной на функцию). в) Так как в этом случае функция также представляет собой «неполную» дробь, то проще ее представить в виде: И тогда снова имеем дело с конструкцией «константа , умноженная на функцию», и применяя правило дифференцирования 1) и формулу 2) из таблицы производных, получим: Пример 1.2 Найти производную функции: а) ; б) ; в) Решение. а) Для того чтобы продифференцировать функцию, являющуюся комбинацией нескольких функций, нужно установить, что собой представляет исходная функция: алгебраическую сумму, произведение, дробь или сложную функцию. Аналогично рассуждениям примера 1.1 б) и в) видно, что обе дроби, оставшиеся для дифференцирования «неполные», поэтому удобнее их представить в виде: , Тогда окончательно имеем: б) Последняя операция, выполняющаяся в этом примере - умножение и , значит необходимо применить формулу (3) - правило дифференцирования произведения, получим: в) В этом примере последняя операция - деление.То есть, для того чтобы найти дифференциал функции, нужно найти ее производную и умножить полученное на . Если требуется вычислить дифференциал в конкретной точке, то найденную предварительно производную необходимо вычислить в этой точке и умножить полученное число на . Найдем сначала производную заданной функции: Тогда Пример 1.7 Вычислить дифференциал функции в точке .Пусть дифференцируема на множестве Х (то есть, дифференцируема в каждой точке этого множества). Если функция дифференцируема на Х, то говорят, что функция дважды дифференцируема на Х и производная от функции называется производной второго порядка функции , то есть , а дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка функции : . Если х независимая переменная, то и Производную от производной второго порядка называют третьей производной функции : , а Этот процесс можно продолжать и дальше.Точка называется точкой локального минимума (максимума) функции , если , Точки локального минимума и максимума функции объединены понятием локального экстремума. Из теоремы 2.3 следует, что если функция дифференцируема в точке и , то эта точка автоматически не может быть экстремальной. Так, например, для функции точка является точкой локального минимума (вспомните ее график), но функция не дифференцируема в этой точке. Точки, в которых производная функции равна нулю и те точки, в которых функция не дифференцируема, называются критическими или подозрительными на экстремум. Вспомнив график этой функции, заметим, что точка не является точкой экстремума, так как в любой окрестности этой точки функция принимает значения и большие, чем в , и меньшие.Говорят, что график функции обращен выпуклостью вверх (вниз), если хорда, соединяющая любые две точки графика, лежит не выше (не ниже) куска графика, соединяющего эти точки. Точка называется точкой перегиба графика функции , если при переходе через нее график меняет свое направление выпуклости. Если дважды дифференцируема в точке , то Из теоремы 2.6 следует, что если функция дважды дифференцируема в точке и , то эта точка автоматически не может быть точкой перегиба. Поэтому точками перегиба могут быть лишь те точки, в которых вторая производная функции равна нулю, либо точки, в которых не имеет второй производной. Точки, в которых вторая производная функции равна нулю и те точки, в которых функция не дифференцируема дважды, называются подозрительными на перегиб.Требуется найти точки, в которых функция достигает самое большое и самое маленькое свое значение на отрезке . Тогда она ограничена на этом отрезке и достигает своего наибольшего и наименьшего значения, то есть найдутся точки такие, что , . а х1 х2 х3 b 1 , видно, что наибольшее и наименьшее значения функция достигает в точках х3 и а соответственно. То есть наибольшее и наименьшее значения могут достигаться либо в точ
План
Содержание
1. Производная и дифференциал функции
1.1 Основные определения и теоремы
1.2 Техника дифференцирования
1.3 Дифференциал функции
1.4 Производные и дифференциалы высших порядков
2. Приложения производных
2.1 Применение производных к вычислению пределов
2.2 Исследование функции на монотонность и точки локального экстремума
2.3 Исследование функции на направление выпуклости и точки перегиба
2.4 Задачи на наибольшее и наименьшее значения
3. Полное исследование функции и построение эскиза ее графика
3.1 Асимптоты графика функции
3.2 Полное исследование функции
Литература
1. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
1.1 Основные определения и теоремы
Список литературы
1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1975 (и более поздние издания).
2. Фоменко С.В. Математический анализ (учебное пособие). Г. Ростов-на-Дону, 2011.
3. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1987 (и более поздние издания).
4. Налбандян Ю.С., Спинко Л.И. Контрольные задания по математическому анализу. Методические указания для студентов заочного отделения экономического факультета РГУ. Часть 1. Ростов-на-Дону 2009 г.
5. Ляликова Е.Р., Спинко Л.И. Функции: предел и непрерывность. Методическое пособие для студентов 1-го курса направлений «Экономика», «Прикладная информатика в экономике» экономического факультета ЮФУ. Ростов-на-Дону 2012 г.