Розгляд та дослідження крайових задач для систем диференціальних рівнянь та рівнянь дробового порядку. Характеристика теореми про асимптотичну поведінку розв’язків (аналогу теореми Біркгофа) та достатніх умов повноти систем власних і приєднаних векторів.
Аннотация к работе
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наукРобота виконана в Донецькому національному університеті Міністерства освіти і науки України. Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент Маламуд Марк Михайлович, доцент кафедри математичного аналізу і теорії функцій Донецького національного університету. Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Шкаліков Андрій Андрійович, професор кафедри теорії функцій і функціонального аналізу Московського державного університету ім. доктор фізико-математичних наук, професор, Агранович Михайло Семенович, професор кафедри математичного аналізу Московського державного інстітуту електроніки і математики. Захист відбудеться “2” жовтня 2006 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради K 11.193.02 Інституту прикладної математики і механіки НАН України, 83114, м.У дисертаційній роботі вивчається повнота та базисність систем власних та приєднаних функцій диференціальних операторів. До задач, що найбільш активно досліджуються, відноситься повнота систем власних та приєднаних функцій для різних класів крайових задач. Для цих задач було досліджено асимптотичну поведінку власних чисел та доведено повноту систем власних та приєднаних функцій, а у випадку підсилено регулярних задач було доведено також теорему про розкладення гладких функцій в ряд за системою власних та приєднаних функцій задачі. Питання повноти систем власних та приєднаних функцій нерегулярних крайових задач для рівняння n-го порядку вивчались М.В.Келдишем, А.А.Шкаліковим, А.П.Хромовим, Г.В.Родзієвським, А.М.Гомілко, А.Г.Костюченко, Оразовим та ін. Так, повноту системи власних та приєднаних функцій для крайової задачі з крайовими умовами, що розпадаються, що була анонсована М.В.Келдишем ще в 1951 р., вперше було доведено А.А.Шкаліковим в 1976 р.,(3) аналітичних по і таких, що За допомогою оцінок (3) в другому розділі доводяться теореми про повноту СВПФ крайової задачі для систем вигляду (1) із загальними крайовими умовами: .(4) Теорема 2.3.1 Нехай існують комплексні числа такі, що одночасно виконуються умови: (a) ноль - внутрішня точка трикутника; В підрозділі 4.2 за допомогою оцінок (7) та (8) та з використанням трикутних операторів перетворення доведено теореми про повноту СВПФ оператора (5) із трьома різними типами крайових умов: Теорема 4.2.1. Більше того, нехай множина , що містить власних і приєднаних функцій оператора (5), (14) задовольняє наступну умову: Якщо містить деяку власну або приєднану функцію, що відповідає власному значенню , то разом із нею вона містить і всі приєднані функції, , що відповідають тому ж власному значенню і мають вищий порядок. Більше того, нехай множина , що містить власних і приєднаних функцій оператора (5), (15) задовольняє наступну умову: Якщо містить деяку власну або приєднану функцію, що відповідає власному значенню , то разом із нею вона містить і всі приєднані функції, , що відповідають тому ж власному значенню і мають вищий порядок.В дисертації досліджуються умови повноти системи власних та приєднаних функцій для деяких диференціальних операторів. Для крайової задачі для-системи диференціальних рівнянь першого порядку : а) отримано теореми про асимптотичну поведінку розвязків (аналог теореми Біркгофа); б) отримано достатні умови повноти систем власних та приєднаних векторів в термінах крайових умов; в) показано, що у випадку самоспряженої матриці при нульових потенціалах і показано, що отримані умови є нтільки достатніми, але й необхідними. Для крайової задачі для-системи типу Дірака (, де ): а) у випадку невироджених крайових умов що розпадаються доведено базисність Ріса системи власних та приєднаних функцій і теорему про рівномірну рівнозбіжність із розкладенням по власним функціям такой же крайової задачі рівняння із нульовими потенціалами та ; б) при квадратичних крайових умовах, заданих на відрізку , доведено повноту на більшому відрізку, а саме в просторі . Для диференціального оператора дробового порядку а) отримано теореми про асимптотичну поведінку розвязків (аналог теореми Біркгофа); б) у випадку крайових умов що розпадаються доведено повноту систем власних та приєднаних векторів. Boundary-Value Problems for the Second-Order Dirac-Type Systems with Boundary Conditions Depending on a Spectral Parameter // Доповіді НАН України.