Особенности состава и содержания приводимых и неприводимых многочленов. Признаки неприводимости многочленов по Эйзенштейну, Дюма и Ньютону. Использование полиномов третьей и четвёртой степени при моделировании временных рядов экономических показателей.
Аннотация к работе
В качестве предмета исследования выступают свойства и признаки многочленов, методы их преобразования. В первом разделе раскрывается понятие многочлена, описываются элементарные преобразования над многочленом. Во втором разделе рассказывается о понятии неприводимых и приводимых многочленах. В пятом разделе приведены примеры решения задач по теме приводимые и неприводимые многочлены.Подходя к изучению данной темы, важно отметить, что Актуальность рассматриваемой курсовой работы заключается в ее универсальности при экономических задач. В соответствии с этим можно обозначить основные задачи, стоящие перед нами в процессе выполнения работы: - определение понятия приводимости и неприводимости многочленовМногочленом (или полиномом) степени n (n - неотрицательное целое число) от переменного над числовым полем K называется выражение вида Число нуль также считается многочленом; его степень не определена. Суммой (разностью) двух многочленов f(x) и g(x) называется многочлен, у которого коэффициент при каждой степени переменного равен сумме (разности) коэффициентов при той же степени в многочленах и . Чтобы умножить многочлен на многочлен , нужно каждый член многочлена умножить на каждый член , сложить полученные произведения и привести подобные члены. Одночлены и многочлены, а также их сумма, разность, произведение и степень называются целыми алгебраическими выражениями.Если для многочлена можно указать такое простое число , что старший коэффициент не делится на , а все остальные коэффициенты делятся на , но свободный член , делясь на , не делится на , то такой многочлен неприводим. В первом из написанных равенств свободный член делятся на ; значит, или , или делится на ; они не могут делиться на одновременно, ибо не делится на . Пусть делится на , а не делится. Тогда переходим ко второму равенству: делится на и делится на и делится на … И так идем до ого равенсва (при ): делится на , все делится на ; тогда делится на и, значит, делится наПотому что сначала наносится основа - каждому одночлену из становится в соответствие точка с координатами ; - это наибольшая степень числа , при которой делится на . Свободный член делится на , но уже не делится на - имеем точку (0;2), делится на - точка (1;1), дает точку (2;2). Если не делится на , то и точка попадает на ось OK. В нашем случае и не делятся на , делится на , делится на (см. рис. На плоскости OKM, таким образом, будут нанесены по крайней мере две точки: начальная точка основы - у нас (0;2) - и ее конечная точка-(7;2).По этим точкам можно построить диаграмму Ньютона многочлена f (соответствующую простому числу p). Отрезки PLPL 1 и QIQI 1 будем называть, соответственно, сторонами и звеньями диаграммы Ньютона, а векторы будем называть векторами звеньев диаграммы Ньютона. Рассмотрим систему векторов звеньев диаграммы Ньютона, взяв каждый вектор с учетом его кратности, т.е. столько раз, сколько он входит в число векторов звеньев. Тогда система векторов звеньев для многочлена f представляет собой объединение систем векторов звеньев для g и h. Возьмем некоторую сторону PLPL 1 диаграммы Ньютона многочлена f (сторона PLPL 1 может состоять из нескольких звеньев диаграммы Ньютона).Выясним, в каком случае многочлен неприводим. Ясно, что многочлен неприводим тогда и только тогда, когда неприводим многочлен , Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда . Теорема 4.1. а) Если у многочлена нет корней, являющихся корнями из единицы, то многочлен неприводим. б) Если у многочлена есть ровно q корней, являющихся корнями из единицы, то многочлен можно представить в виде произведения двух многочленов с целыми коэффициентами, один из которых имеет степень q и все данные q корней из единицы являются его корнями, а другой многочлен неприводим. Если не все корни многочлена являются корнями из единицы, то либо многочлен неприводим над Z, либо , где и все корни многочлена являются корнями из единицы, а у многочлена есть корень, не являющийся корнем из единицы. Остается выяснить, в каких случаях у многочлена есть корни, являющиеся корнями из единицы.Многочлен степени n > 0 называется приведенным над полем P, если он разлагается над этим полем в произведение двух многочленов меньшей степени, и неприводимым (простым) над полем P в противном случае. Многочлен 2-й или 3-й степени приводим над P тогда и только тогда, когда он имеет хотя бы один корень в P. Если многочлен неприводим над некоторым полем, то он неприводим над любым его подпольем. а) приводим над R; Ответ. а) приводим над полем R; б) приводим над полем Q; в) приводим над полем C; г) неприводим над полем C(R, Q). Наибольший общий делитель D(x)многочленов и равен произведению общих различных между собой неприводимых множителей (делителей) многочленов; при этом множитель берется в степени, равной наименьшей из двух степеней, в которых он входит в разложение и .
План
Содержание
Введение
1. Понятие многочлена
2. Разложение на неприводимые многочлены
3. Признаки неприводимости многочлена
3.1 Признак Эйзенштейна
3.2 Диаграмма Ньютона
3.3 Признак Дюма
4. Неприводимость трехчленов и четырехчленов
4.1 Неприводимость многочленов
4.2 Неприводимость триномов
5. Примеры задач на тему приводимые и неприводимые многочлены
6. Применение неприводимых многочленов в экономике
6.1 Временной ряд и его составляющие
6.2 Понятие тренда
6.3 Полиномиальный тренд
6.4 Пример решения экономической задачи при помощи полиномиального тренда
Заключение
Список использованных источников
Введение
Подходя к изучению данной темы, важно отметить, что Актуальность рассматриваемой курсовой работы заключается в ее универсальности при экономических задач.
Целью данной курсовой работы является изучение состава и содержания приводимых и неприводимых многочленов, изучение направленности их использования в решении проблем экономического анализа и прогнозирования.
В соответствии с этим можно обозначить основные задачи, стоящие перед нами в процессе выполнения работы: - определение понятия приводимости и неприводимости многочленов
- выделение признаков неприводимости
- установление свойств неприводимости трехчленов и четырехчленов
- использование полиномов третьей и четвертой степени при моделировании временных рядов экономических показателей.
В процессе выполнения курсовой работы мы использовали такие методы исследования, как анализ, синтез и математические вычисления.