Численные методы решения дифференциальных уравнений в моделировании технических объектов, особенности их реализации в MathCAD. Исследование модели электрической цепи с переменным сопротивлением и с последующим построением графиков заряда на резисторе.
Аннотация к работе
В эпоху глобальной компьютеризации с развитием информационных технологий нерационально выполнять расчеты вручную или с применением примитивных средств автоматизации. С развитием не только межличностных, но и рыночных отношений уровень задач, решаемых человечеством, значительно повысился и требует использования более сложных методов вычислений, а также оперативности при решении поставленных вопросов. В свою очередь персональный компьютер, при введении соответствующей программы, позволяет практически любой расчет выполнить значительно быстрее, нагляднее, точнее, на принципиально более высоком уровне. В курсовой работе требуется решить дифференциальное уравнение - это трудоемкий процесс и занимает много времени, т.к. в основе лежит решение дифференциального уравнения в численном виде, поэтому для его решения будем использовать компьютер и системы MATHCAD предназначенные для решения технических и математических задач.Дифференциальное уравнение - это уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или все, кроме хотя бы одной производной, отсутствовать вовсе. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией, так называемой ломаной Эйлера. Описание метода: Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка: (1.1) Если функция непрерывна в и непрерывно дифференцируемая по переменной в , то имеет место следующая оценка погрешности: (1.5) где: - средний шаг, то есть существует такая, что Условия гладкости на правую часть, гарантирующие единственность решения задачи Коши, необходимы для обоснования сходимости метода Эйлера.Пакет MATHCAD - продукт компании Mathsoft - представляет собой универсальный математический пакет, предназначенный для выполнения инженерных и научных расчетов. Объединение текстового редактора с возможностью использования общепринятого математического языка и графических средств позволяет пользователю получить готовый итоговый документ в визуально приятном виде. Система же MATHCAD изначально создавалась для численного решения математических задач, но в 1994 г. в нее были добавлены инструменты символьной математики, что постепенно превратило MATHCAD в универсальную систему. запись условия задач в MATHCAD наиболее приближена к привычной математической записи, что существенно упрощает применение этого пакета. Запись математических выражений производится с применением общепринятых знаков: квадратный корень, знак деления - в виде горизонтальной черты, дифференциала, знаки интеграла и т.д. с помощью MATHCAD можно вводить исходные данные, как в обычном текстовом процессоре, традиционно описывать решение задачи и получать результаты вычислений в аналитическом и численном виде, с возможностью использования средств графического представления результатов. Для решения дифференциальных уравнений с начальными условиями система MATHCAD имеет ряд встроенных функций: Rkfixed - функция для решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта четвертого порядка с постоянным шагом;1) С использованием системы MATHCAD рассчитать значения функции заряда на конденсаторе в заданной электрической схеме. Построить графики функции индуктивности и функции заряда на конденсаторе. 2) Исследовать влияние значений изменяемого параметра на вид функции заряда на конденсаторе. 3) Построить сводный график всех полученных функций заряда на одном поле. 4) Подобрать аналитическую аппроксимирующую функцию по результатам исследований пункта 2.Электрическая цепь, приведенная на рисунке состоит из линейных неизменных во времени С и R и изменяющейся во времени индуктивности.
и описывается дифференциальным уравнением вида: (2.1)Графическая схема общего алгоритма представлена на рисунке 1.Затем решаем данное дифференциальное уравнение, используя функцию rkfixed, которая решает уравнения методом Рунге-Кутта 4-го порядка.Исследуем влияние значений изменяемого параметра на минимум функции заряда на конденсаторе. Для этого задаем значение изменяемого параметра и решаем дифференциальное уравнение работы электрической цепи с помощью функции rkfixed с заданным значением изменяемого параметра. График функции изменения индуктивности L (t) представлен на рисунке А.1. Строим график функции заряда на конденсаторе и находим минимум этой функции, представленный на рисунке А.2. После строим сводный график зависимостей заряда на конденсаторе от времени при изменяющемся параметре сопротивления R, представленный на рисунке Б.11В данной курсовой работе было проведено исследование модели электрической цепи с переменной индуктивностью с использованием системы компьютерной математики MATHCAD.
План
Содержание
Введение
1. Численные методы решения дифференциальных уравнений в моделировании технических объектов
1.1 Обзор численных методов решения дифференциальных уравнений
1.2 Реализация численных методов решения дифференциальных уравнений в MATHCAD
2. Алгоритмический анализ задачи
2.1 Постановка задачи
2.2 Описание математической модели
2.3 Алгоритм решения задачи
3. Описание реализации задачи в MATHCAD
3.1 Описание реализации модели электрической цепи с переменной индуктивностью
3.2 Описание исследований и выводы по полученным результатам