Приближенные методы вычисления собственных чисел и собственных векторов матриц линейных операторов в конечномерном линейном пространстве - Дипломная работа

РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА «ЗНАК ПОЧЕТА»Большое число задач математики и физики требует отыскания собственных значений и собственных векторов линейных операторов, т.е. отыскания таких значений l, для которых существуют нетривиальные решения операторного уравнения Под полной проблемой собственных значений понимается проблема нахождения всех собственных значений матрицы А, так же как и отвечающих этим собственным значениям собственных векторов. Определение компонент собственного вектора требует решения n однородных уравнений с п неизвестными; для вычисления всех собственных векторов матрицы требуется решить п систем вида (1/). Коэффициенты pi характеристического многочлена являются, с точностью до знака, суммами всех миноров определителя матрицы А порядка i, опирающихся на главную диагональ. Собственные значения вычисляются затем по какому-либо методу для приближенного вычисления корней многочлена, например, способом Ньютона или Лобачевского, а потом по полученному собственному значению вычисляются собственные векторы, отвечающие этому собственному значению.матрица линейный оператор многочленПусть каждому вектору х n-мерного пространства L поставлен в соответствие вектор у этого же пространства. Оператор j называется линейным, если выполняются следующие условия: 10 j (х1 х2) = j (х1) j (х2)Пусть{e} = {e1,e2, …,en} - базис в n-мерном пространстве L и j - линейный оператор в L. Для любых n векторов q1, q2, …, qn существует один и только один линейный оператор j, такой, что j (e1) = q1, j (e2) = q2, …, j (en) = qn. Таким образом, матрицей оператора j в базисе {e} называется транспонированная матрица координат векторов j(e1), j(e2), …, j(en) в базисе {e}.Линейные операторы можно складывать и умножать. Произведением линейных операторов j и y называется оператор x, состоящий в последовательном выполнении сначала преобразования y, а затем j. Суммой линейных операторов j и y называется такой оператор x, который каждому вектору х ставит в соответствие вектор j (х) y (х); иначе говоря, x = j y означает, что x (х) = j (х) y (х) для любого х. Необходимо определить также произведение оператора j на число l; под оператором lj понимается оператор, который каждому вектору х ставит в соответствие вектор l (j (х) ). Умея находить сумму и произведение линейных операторов, можно теперь найти любой многочлен от оператора j.Оператор j называется обратным к y, если jy = yj = Е, где Е - единичный оператор. В силу определения Е это означает, что для любого х j(y(х))=х, т.е. если y переводит х в вектор y(х), то обратный оператор j переводит вектор y (х) обратно в вектор х. Оператор, обратный оператору y, обозначается y-1. Например, оператор, проектирующий трехмерное пространство на плоскость XOY, очевидно, не имеет обратного. Как известно, для каждой матрицы А, удовлетворяющей условию Det (A) ? 0, можно определить матрицу А-1, удовлетворяющую условиюВыясним, как изменяется матрица линейного преобразования j при переходе от одного базиса к другому. Матрица перехода от базиса {e} к базису {e/} обозначают P e®e/. Другими словами матрица перехода от базиса {e} к базису {e|} есть транспонированная матрица координат векторов e/1, e/2, …, e/n в базисе {e}. Иначе говоря, , Наша цель выразить матрицу Ae/ через матрицы Ае и Pe®e/. Итак, матрица Ae| оператора j в базисе {e|} получается из матрицы Ае оператора j в базисе {e} по формуле (**), где Pe®e| - матрица перехода от базиса {e} к базису {e|} (формула (*).Число l из основного поля Р называется собственным значением оператора j, если существует такой вектор и I L, что и ? О и j (и) = lи. Вектор и называется собственным вектором оператора j, отвечающим собственному значению l. Множество всех собственных значений оператора j называется его спектром и обозначается s (j). Легко видеть, что верно и обратное: любой ненулевой вектор из подпространства ker (j - l0Е) является собственным вектором оператора j, отвечающим собственному значению l0. Для того, чтобы матрица А линейного оператор j в данном базисе {ек} была диагональной (т.е. все ее элементы, расположенные не на главной диагонали, равны нулю), необходимо и достаточно, чтобы базисные векторы ek были собственными векторами этого оператора.Повторяя этот процесс (n-1) раз, мы перейдем от системы (2) к системе Система линейных алгебраических уравнений (5) имеет ненулевое решение для всех значений l, удовлетворяющих уравнению D(l)=0. Решая эту систему как систему линейных однородных уравнений с n 1 неизвестными u,x1,x2,…xn, получим, что ненулевое решение возможно в том и только в том случае, когда (12) Повторяя прежние рассуждения, найдем, что (13) если С1?0, то коэффициенты рі характеристического многочлена определяются как отношения где Di - алгебраические дополнения элементов ln-i в определителе D(l). Система линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов характеристического многочлена имеет вид: Решив эту систему, получим: р1=-11, р2=7, р3=72, р4=-93.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

1.1 Основные определения

1.2 Связь между линейными операторами и матрицами

1.3 Сложение и умножение линейных операторов

1.4 Обратный оператор

1.5 Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах

1.6 Собственные числа и собственные векторы линейных операторов

2. МЕТОД А.Н.КРЫЛОВА

2.1 Отыскание собственных значений матрицы

2.2 Отыскание собственных векторов матрицы

3. МЕТОД ЛАНЦОША.

3.1 Отыскание собственных значений

3.2 Отыскание собственных векторов

4. МЕТОД ДАНИЛЕВСКОГО.

4.1 Отыскание собственных значений

4.2 Отыскание собственных векторов

5. ДРУГИЕ СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА

5.1 Метод Леверрье - Фаддеева

5.2 Метод окаймления

5.3 Эскалаторный метод

5.4 Метод Самуэльсона

5.5 Интерполяционный метод

5.6 Сравнение некоторых методов раскрытия характеристического многочлена

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ 1