Построение приближенно инвариантных стратегий в системах управления с неопределенностью на основе асимптотического анализа модели - Статья

В системах управления с малыми возмущениями и неопределенностью вводится понятие приближенной слабой инвариантности. Далее проводится обоснование свойства декомпозиции в задаче построения инвариантного управления в системах управления с быстрыми и медленными движениями.Ряд авторов при этом изучали построение инвариантных стратегий в системах с малым параметром или малыми возмущениями ([Лузин, Кузнецов, 1954]). В нашей работе рассматривается задача построения приближенно инвариантных стратегий управления при условии, что в исходной системе присутствует малый параметр либо при нелинейностях или при части производных. Теперь предположим, что условия гарантирующие инвариантность будут выполняться в предельной задаче (3), (4) и зададимся вопросом: «Что можно сказать об инвариантности системы управления с малым параметром при выполнении условий инвариантности в предельной задаче?» Очевидно, что здесь можно вести речь о некоторой приближенной инвариантности. Если в регулярно возмущенной системе (1) имеет место предельный переход в траекториях при e® 0 к траекториям вырожденной задачи (3), то здесь, при определенных условиях, можно ожидать, что в конечный момент времени при подстановке стратегии управления u0, полученной из предельной задачи (3)-(4), в возмущенную задачу, разность функционалов будет равна величине порядка e Динамическую систему (1) будем называть слабо e-инвариантной (по возмущениям v) относительно критерия (2), если изменение функционала возмущенной задачи вдоль условий слабой инвариантности для предельной задачи будет порядка e при любых отличных друг от друга значениях внешних воздействийv(t) IV.

В литературе имеется множество работ, посвященных теории инвариантности динамических систем. Ряд авторов при этом изучали построение инвариантных стратегий в системах с малым параметром или малыми возмущениями ([Лузин, Кузнецов, 1954]). В нашей работе рассматривается задача построения приближенно инвариантных стратегий управления при условии, что в исходной системе присутствует малый параметр либо при нелинейностях или при части производных. Рассматриваемые в данной работе задачи опираются на два формализма изучения задач инвариантности, предложенных в работах [Розоноэр, 1963], [Хрусталев , 1987]. Техника построения законов синтеза терминального управления, нейтрализирующих внешние воздействия, в первом случае связана с использованием известной формулы приращения функционала [Розоноэр, 1963], а во втором - с техникой достаточных условий оптимальности Кротова В.Ф. [Кротов , Гурман, 1973]

Сначала рассмотрим регулярно возмущенные системы. Пусть задана динамическая система dx / dt =f0(t, x, u, v) ef1(t, x), x(t0) = x0IX0IRN, (1) с критерием

J=(c,x(t1))=F(x(t1)) 2) здесь x(t) - n-мерная векторная переменная; c - n-мерный вектор; u(t) - скалярная функция управления, UIUIR1; v(t) - скалярная функция внешних возмущений, VIVIR1; e - положительный малый параметр.

Предполагается, что процесс управления рассматривается на интервале

T = [t0, t1], который считается фиксированным. Начальная точка выбирается из заданного множества X0IRN. Функции f0(t, x, u, v), u(t, x, v),f1(t, x)предполагаются такими, что для v(·) IVCУЩЕСТВУЕТ x(t) - абсолютно непрерывное решение уравнения (1).

При определении инвариантности будем следовать Хрусталеву М.М.(1987)

Определение 1.Динамическую систему (1) будем называть слабо инвариантной (по возмущениямv) относительно критерия (2), если при фиксированной начальной точке x0функционал (2) принимает постоянное значение, т.е.

J(u,v) = (c,x0).

Рассмотрим предельную задачу при e=0 dx0/dt = f0(t, x0, u0, v), x0(t0) = x0IX0IRN , (3)

J0(u0,v) = (c,x0(t1))=F(x0(t1)) (4)

Теперь предположим, что условия гарантирующие инвариантность будут выполняться в предельной задаче (3), (4) и зададимся вопросом: «Что можно сказать об инвариантности системы управления с малым параметром при выполнении условий инвариантности в предельной задаче?» Очевидно, что здесь можно вести речь о некоторой приближенной инвариантности.

Слабая e-инвариантность в регулярно возмущенной системе

Если в регулярно возмущенной системе (1) имеет место предельный переход в траекториях при e® 0 к траекториям вырожденной задачи (3), то здесь, при определенных условиях, можно ожидать, что в конечный момент времени при подстановке стратегии управления u0, полученной из предельной задачи (3)-(4), в возмущенную задачу, разность функционалов будет равна величине порядка e

DJ(u,v) = |Je(u,v) - Je(u0,v)| = | F(xe(t1)) - F(x0(t1)) | ?O(e), "VIV

Это ожидаемое свойство и положим в основу определения понятия слабой e-инвариантности.

Определение 2. Динамическую систему (1) будем называть слабо e-инвариантной (по возмущениям v) относительно критерия (2), если изменение функционала возмущенной задачи вдоль условий слабой инвариантности для предельной задачи будет порядка e при любых отличных друг от друга значениях внешних воздействийv(t) IV.

Введем в рассмотрение класс Dif (B) функций j(t, x), заданных на BIT со значениями в R1, локально удовлетворяющих условию Липшица на Ви дифференцируемых всюду в области определения.

Введем также конструкцию[Хрусталев, 1987]

Kj (t, x, u, v) = jxf jt.

Согласно теоремы Хрусталева М.М.(1987)среди необходимых и достаточных условиях слабой инвариантности системы (1) относительно критерия (2) имеется условие

Kj (t, x, u, v) = jxf j t?f (t, x, u, v)=0(5)

Из (5) и теоремы о неявной функции следует, что при достаточно малых e>0 существует u = a(t, x, v, e), если fu? 0 и по теореме о среднем имеем

|| ue- u0 || =|| a(t, xe, v, e) - a(t, x0, v, 0) || =|| ax(t, x0 q(xe - x0), v, e)(xe - x0)|| =

=|| ax|| || xe - x0 || ?C || xe - x0 || т.е.

|ue- u0 |?C || xe - x0 ||, (6) а следовательно имеет место

Теорема 1. Если система (3) слабо инвариантна относительно критерия (4) то при достаточно малых e система (1) слабо e-инвариантна, т.е. выполняется неравенство

| Je(u0, v) - J0(u0, v) | ?Ce

3.Слабая e-инвариантность в сингулярно возмущенной линейной системе

Здесь будем рассматривать сингулярно возмущенную линейную систему, в которой отсутствует активное управление dx / dt = A1x A2y B1v, x(t0) = x0IX0IRN, edy / dt = A3 x A4y B2 v, y(t0) = y0IY0IRM(7)

J=(c,x(t1))=F(x(t1)) (8)

TI [t0, t1], коэффициенты всех матриц не зависят от t;x - n-мерный вектор, y - m-мерный вектор; v(t) - скалярная функция внешних возмущений.

Известный критерий [Розоноэр, 1963] слабой инвариантности системы (7) по функционалу (8) заключается в равенстве нулю приращения функционала

DJ(v) = J(v1) - J(v2) ? 0, "v1, v2IV(9) где V ={v(t): | v | ?K, TI [t0, t1] }?класс ограниченных кусочно-непрерывных функций, имеющих значение в R1.

Введем в рассмотрение функцию

H(x, y, y1, y2, v, t) = y1/(A1x A2y B1v) y2/ (A3x A4y B2 v) (10) штрих означает транспонирование.

Вариацию функционала DJ [Розоноэр, 1963] можно представить в следующем виде t1

DJ = - o [H(x, y, y1, y2, v Dv, t) - H(x, y, y1, y2, v, t)]dt - h, (11) t0 где вектора y1, y2 удовлетворяют системе dy1 / dt = ¶H / ¶x, edy2 / dt= ¶H / ¶y , y1(t1) = - c, y2(t1) = 0 (12) и h? 0(в силу линейности системы).

Учитывая (12), имеем t1

DJ = - o [(y1,B1) (y2,B2)]Dvdt (13)t0

Необходимым и достаточным условием слабой инвариантности системы (7) будет тождество[Розоноэр, 1963]: (y1, B1) ( y2, B2) = 0 (14) где dy1 / dt = - A1/y1 - A3/y2 , y1 (t1) = - c edy2 / dt = - A2/y1 - A4/y2 ,y2 (t1) = 0(15)

Введем условие

1. Rel(A4) < 0.

При e=0 здесь происходит уменьшение размерности исходной системы и вместо задачи (7), (8) имеем следующую предельную задачу инвариантности dx0 / dt= A10 x0 B10v, J = (c, x0(t1))(16)

-1 -1

ГДЕА10 = A1 - A2A4 A3 , B10= B1 - A2A4 B2.

Для предельной задачи сопряженная система имеет вид da / dt= - A10a, a(t1) = - c(17)

Предположим, коэффициенты системы связаны следующим дополнительным условием

(a, B1 - A2A4 B2 )= 0, t I [t0, t1], которое является необходимым и достаточным условием слабой инвариантности предельной задачи (16). Для оценки возмущений будем следовать методу пограничных функций [Васильева, Бутузов, 1990].

Сначала строится асимптотика сопряженных переменных y1(t,e) = Y1(t,e) Qy1(t,e),y2(t,e) = Y2(t,e) Qy2(t,e), где Y1 (t,e) = y10 ey11 ..., Y2 (t,e) = y20 ey21 ... - есть регулярные ряды пое с коэффициентами, зависящими от TИQY1(t,e) = Q0y1 EQ1y1 ...,Qy2(t,e) = Q0y2 EQ1y2 ... - пограничные ряды пое, с коэффициентами, зависящими от t = (t-t1)/e.

Из (17), (19) имеем a?y10 . На основании асимптотических разложений и соответствующей близости решений системы (15) к y10 , y20 и экспоненциальных оценок для погранфункций справедлива

Теорема 2. Пусть в задаче (7), (8) выполнены условия 1, 2. Тогда для достаточно малых e> 0 система (7) слабо e-инвариантна относительно критерия (8) по внешним возмущениям v(t) из множества V.

Из теоремы 2 следует, что свойство слабой инвариантности в предельной задаче меньшей размерности порождает свойство слабой e-инвариантности в возмущенной задаче большей размерности. инвариантность стратегия управление неопределенность

Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений - М., Высшая школа, 1990.

ВАСИЛЬЕВАА.Б., Дмитриев М.Г.Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления. //Итоги науки. Математический анализ, том 20, 1982, ВИНИТИ, М., с.3 -77

Дмитриев А.М. Слабая e-инвариантность в линейных сингулярно возмущенных системах. Сб. «Тезисы докл. Понтрягинских чтений, Воронеж, 1999, Воронеж, Изд-во ВГУ, 1999, с.83

Кротов В.Ф.,Гурман В.И.Методы и задачи оптимального управления.М., Наука, 1973.

Лузин Н.Н., Кузнецов П.И. К абсолютной инвариантности и инвариантности доев теории дифференциальных уравнений. ДАН СССР, нов. сер., № 5, 1954 .

Розоноэр Л.И. Вариационный подход к проблеме инвариантности, Автоматика и телемеханика № 6, 1963.

Размещено на .ru