Применение численных методов в математическом моделировании. Методы Рунге-Кутта, порядок использования. Аппроксимация и интерполяция данных. Постановка и алгоритмический анализ задачи. Описание математической модели и графическая схема алгоритма решения.
Аннотация к работе
Рациональное и умелое использование богатейших возможностей ЭВМ является одной из серьезных проблем настоящего периода развития общества, и актуальность решения этой проблемы растет по мере увеличения парка ЭВМ и совершенствования их технического и программного оснащения. Эффективный путь решения указанной проблемы состоит в глубоком освоении и широком использовании на практике языков программирования высокого уровня, позволяющих записывать алгоритмы решаемых задач в довольно естественном для пользователя виде и затем использовать средства системного программного обеспечения ЭВМ для доводки про грамм до машинной реализации. Применение математических моделей и расчет их на ЭВМ позволяет получить новые результаты или новые свойства какого-либо объекта исследования, причем эти объекты могут быть очень сложными - например, погодные условия в какой-либо области земного шара. В данной работе рассматривается довольно простая колебательная система, однако автоматизация этого расчета позволит сэкономить значительное количество времени.С помощью математического моделирования решение научно - технической задачи сводится к решению математической задачи, являющейся ее моделью. Основная идея этих методов состоит в том, что решение находится путем геометрических построений. Например: для нахождения корней уравнения f(x)=0 строится график функции y=f(x), точки пересечения которого с осью абсцисс и будут искомыми корнями. В частности, если математическая задача состоит в решении простейших алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений и т.д., то использование известных из курса математики приемов сразу приводит к цели. Главным инструментом для решения сложных математических задач являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений.Допустим, что функция имеет непрерывные частные производные до m-го порядка включительно, тогда решение задачи Коши для уравнения будет обладать непрерывными производными до-го порядка включительно и если значение при известно, то справедливо равенство: где . Значения входящих сюда производных вычисляется из дифференциального уравнения последовательным дифференцированием Подставляя значения выражения производных, можно вычислить значение . Однако такой расчет требует вычислений, сложность которых возрастает с увеличением порядка производных. Для сокращения вычислительной работы Рунге предложил значение в видеВ инженерной практике часто необходимо получить аналитическую функциональную зависимость по результатам эксперимента, заданным табличной функцией. Этот процесс называется приближением или аппроксимацией. Аппроксимация - замена данной функции f(x), функцией f’(x) так, чтобы отклонение f’(x) от f(x) было наименьшим. Интерполяция - замена исходной таблично заданной функции f(x) функцией f’(x) так, чтобы f’(x) точно проходила через точки исходной функции f(x).Интерполяция еще называется точечной аппроксимацией. Для выполнения аппроксимации по методу наименьших квадратов в MATHCAD существуют две функции: linfit и genfit.С использованием системы MATHCAD получить параметры заданной графически аналитической функции закона движения коромысла шарнирного четырехзвенника.В общем случае при синтезе плоского шарнирного четырехзвенника требуется подобрать пять параметров: относительные длины звеньев a, b, c (d=1) и начальные углы a и b таким образом, чтобы проектируемый механизм обеспечивал определенный закон преобразования движения Y=f(j), 0?j?jm, и максимальный угол давления шатуна на звено CD был меньше допустимого значения uд. В основу методики решения сформулированной задачи положен метод синтеза механизмов на основе приближающих функций, разработанный П.Л. (1) где параметры pj (j=0,1,2) есть неизвестные в системе линейных уравнений вида: (2) где, в соответствии с заданием? y(ц) вычисляется по заданной аналитической зависимости вида: Значения k1 и k2 необходимо найти по методу аппроксимации.углы a и b, определяющие взаимное расположение звеньев AB и CD относительно стойки, заданы в таблице 1;Графическую схему алгоритма решения начинаем с блока 1, где вводим исходные данные, далее в блоке 2 проводим интерполяцию и построение интерполирующей зависимости.При проведении исследований закона движения коромысла шарнирного четырехзвенника были построены графики исходной табличной и результирующей аналитической функций, также были найдены длины звеньев шарнирного кривошипно-коромыслового четырехзвенника.
План
Содержание
Введение
1. Применение численных методов в математическом моделировании
1.1 Обзор числовых методов в математическом моделировании
1.2 Методы Рунге-Кутта
1.3 Аппроксимация и интерполяция данных
2. Постановка и алгоритмический анализ задачи
2.1 Постановка задачи
2.2 Описание математической модели
2.3 Анализ исходных данных
2.4 Графическая схема алгоритма решения
Заключение
Литература
Приложения: Приложение А Приложение Б
Приложение В
Приложение Г
Приложение Е
Введение
Рациональное и умелое использование богатейших возможностей ЭВМ является одной из серьезных проблем настоящего периода развития общества, и актуальность решения этой проблемы растет по мере увеличения парка ЭВМ и совершенствования их технического и программного оснащения. Эффективный путь решения указанной проблемы состоит в глубоком освоении и широком использовании на практике языков программирования высокого уровня, позволяющих записывать алгоритмы решаемых задач в довольно естественном для пользователя виде и затем использовать средства системного программного обеспечения ЭВМ для доводки про грамм до машинной реализации.
Применение математических моделей и расчет их на ЭВМ позволяет получить новые результаты или новые свойства какого-либо объекта исследования, причем эти объекты могут быть очень сложными - например, погодные условия в какой-либо области земного шара. Это очень удобно в случае невозможности использования самого объекта. Используя всю мощь современную вычислительную технику можно моделировать очень сложные физические процессы. Вручную выполнить такие расчеты невозможно, т.к. это займет огромное количество времени. Именно автоматизации таких расчетов на ЭВМ позволяет проводить моделирование таких процессов. В данной работе рассматривается довольно простая колебательная система, однако автоматизация этого расчета позволит сэкономить значительное количество времени.
Данная курсовая работа предполагает использование пакета MATHCAD для построения математической модели динамической системы, на которую воздействует гармоническая возмущающая сила, сила жесткости пружины и сила сопротивления демпфера.
Цели и задачи курсовой работы: - углубление и расширение теоретических знаний в данной предметной области;
- приобретение навыков самостоятельного решения прикладной инженерной задачи с использованием компьютерных систем;
- умение формулировать выводы по проделанным исследованиям;
- получение навыков сбора, анализа, обобщения информации по данной предметной области, работы с источниками литературы;
- приобретение навыков подготовки доклада по проделанной работе, подготовка ответов на вопросы комиссии.
Вывод
При проведении исследований закона движения коромысла шарнирного четырехзвенника были построены графики исходной табличной и результирующей аналитической функций, также были найдены длины звеньев шарнирного кривошипно-коромыслового четырехзвенника. Значения параметров a (длина кривошипа), b (длина шатуна) и c (длина коромысла) с заданными значениями a и b соответствуют условиям существования механизма и ограничениям: u ? uд и a < d
Исследование проводилось для того чтобы оценить зависимость усилия в шатуне от значения параметров a (длина кривошипа), b (длина шатуна) и c (длина коромысла) с заданными значениями a и b.
Цель исследования выявить какое усилие в шатуне при определенных условиях существования механизма и ограничениях: u ? uд и a < d. Усилие в шатуне равно:V=0.932[рад.] и меньше заданного Vд=1.2[рад.], а=0.279(м) d=1(м). моделирование интерполяция алгоритмический
Список литературы
1. Трохова Т.А. “Основные приемы работы в системе MATHCAD” версии 6.0. М/к 2286. Гомель ГГТУ 1998г.
2. Новиков А.А. “Решение инженерно-экономических задач в среде MATHCAD “. М/к 2477. Гомель, ГГТУ, 2000г.
3. Маркова Л.В., Мастяница В.С. “Расчеты в среде MATHCAD 7.0.” Мн.1999г.
4. Турчак Л.И. “Основы численных методов MATHCAD”, 1987г.
5. “Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике”. / Под ред. Яблонского А.А. / М. Высшая школа, 1985г.
6. Тарасик В.П. “Математическое моделирование технических систем”. Мн. 1997г.