Понятие об экономико-математической модели. Отношение модели и реальной экономики. Изучение основных этапов работы с оптимизационными задачами. Общая задача линейного программирования. Геометрический метод решения ЗЛП. Область допустимых значений.
Аннотация к работе
. Понятие модели.Модель в широком смысле - это любой образ, аналог мысленный или установленный изображение, описание, схема, чертеж, карта и т. п. какого либо объема, процесса или явления, используемый в качестве его заменителя или представителя. Под моделью будем понимать условный образ какого-либо объекта, приближенно воссоздающий этот объект с помощью некоторого языка. Оптимальным решением (или оптимальным планом) задачи ЛП называется решение X=(xi, x2,…,xj, xn) системы ограничении, удовлетворяющее условию, при котором линейная функция принимает оптимальное значение. При условии, что все переменные неотрицательные, система ограничении состоит лишь из одних неравенств - такая задача ЛП называется стандартной, если система уравнении состоит из одних уравнении то задача называется канонической. Введем обозначения: n - количество поставщиков; m - количество потребителей; i - номер строки, поставщика, 1..п; j - номер столбца, потребителя, l..m; Xij - искомое плановое количество перевозки от i-ro поставщика к j-му потребителю; Si - план поставок от i-ro поставщика всем потребителям, сумма по строке; Si = xij; Cj - план поставок j-му потребителю от всех поставщиков, сумма по столбцу Cj = xij; i= I ;Pij - цена (price) франко-склад (инкотерма) единицы груза от i-ro поставщика к j-му потребителю; Bi - ограниченная (boundary = граница) мощность i-ro поставщика; Dj - ограниченный спрос (demand) j-ro потребителя.
План
29. Оптимальный план затрат на рекламу
При разработке годового финансового плана деятельности фирмы необходимо определить расходы на рекламу для получения наибольшей прибыли. Предварительно проблемная система должна включать: 1) планируемые показатели сокращенного баланса расходов, доходов и прибыли фирмы;
2) модели (формулы) причинно-следственных связей объемов продаж, доходов и прибыли в зависимости от затрат на рекламу.
Обычно план-прогноз движения средств разрабатывается в виде таблицы. Вводятся исходные данные - это коэффициент сезонного изменения объемов продаж, затраты на торговый персонал, цена и себестоимость изделия. Искомые показатели - затраты на рекламу и производственная прибыль. Цель: при разработке плана изменением объема затрат на рекламу добиться наилучшей прибыли.
После составления плановой таблицы причинно-следственные показатели связывают формулами для вычислений. Для расширения экспериментов изменяют число периодов планирования, динамику прогноза фиксированных расходов, цену и себестоимость, вводят ограничения для показателей и др.
Можно построить график зависимости числа продаж от затрат на рекламу. Крутизна зависимости с ростом затрат убывает, т.е. наблюдается убывающая эффективность фактора. Бесконечное увеличение затрат на рекламу будет бесконечно увеличивать объем продаж. Но изменение прибыли, вероятно, будет иметь максимум, поскольку увеличение затрат на рекламу в конце концов съест всю прибыль.
30. Оптимизация портфеля ценных бумаг
Вкладывая инвестиционный капитал, клиент банка желает получить от него максимальную прибыль при минимальном риске потери средств. Теория и практика показывает, что увеличение прибыли почти всегда сопровождается увеличением рисков.
Одноиндексная мат. модель рынка при известных Бета и остаточной дисперсии (несистемный, индивидуальный риск) акции позволяет сформировать оптимальные инвестиционные портфели двух типов: 1) портфель максимальной доходности при ограниченном риске и 2) портфель минимального риска при заданной доходности.
(Бета-коэффициент показывает, насколько доходность рассматриваемого актива превышает среднюю доходность рынка, позволяет сравнивать активы между собой и формировать из них рыночный портфель. Чем высшие значения показателей стандартного отклонения и Бета-коэфф. ценной бумаги, тем выше риск. Но больший риск означает потенциальную возможность получения больших доходов).
Для решения задачи нужно учитывать: 1) колво денежных средств инвестора, 2) цели инвестора, 3) ассортимент возможных для покупки рыночных активов с их характеристиками доходности и риска, 4) доходность безрисковых активов, 5) доходность рынка, 6) Бета каждой акции, 7) остат. дисперсия каждой акции.
Составляется таблица в Excel, заполняется данными. Изменяемыми, напр., будет процентная доля каждой ц/б в составе портфеля. Задаются ограничения, целевыми ячейками будут Дисперсия (риск) и Доходность и при помощи средства поиска решения Solver находят оптимальный план портфеля ц/б.
С целью защиты пенсионных резервов от инфляции, удешевления тарифов и увеличения пенсий резервы пенсионных фондов должны инвестироваться в высокодоходные, а значит, рисковые активы.
Требования к надежности фондов и обеспечения текущей ликвидности для своевременной выплаты пенсий вынуждают фонды инвестировать резервы в надежные, но поэтому низкорентабельные активы.
При планировании системы портфелей цель - добиться максимальной доходности при и ликвидности при минимизации портфельного риска.
В проблемную систему входят следующие объекты и показатели: 1) список текущих и возможных активных операций с их стоимостными и временными характеристиками.
2) показатели риска и надежности портфеля, ограничения, накладываемые внешней операционной средой НПФ (негос-х ПФ).
3) критерий оптимизации плана.
Составляется таблица в Excel, заполняется данными. Изменяемыми, напр, будут значения размещения ресурсов. Задаются ограничения (напр., плановые инвестиции ресурсов не должны выходить за границы лимитов), целевой ячейкой будет Доход и при помощи средства поиска решения Solver находят оптимальный план.
32. Планирование численности персонала, целочисленное программирование (ЦП)
ЦП - раздел математического программирования, в к-ром исследуется задача оптимизации (максимизации или минимизации) функции нескольких переменных, связанных рядом уравнений и (или) неравенств и удовлетворяющих условию целочисленности.
Условие целочисленности переменных формально отражает: а) физич. неделимость объектов; б) конечность множества допустимых вариантов, на к-ром проводится оптимизация; в) наличие логич. условий, выполнение или невыполнение к-рых влечет изменение вида целевой функции и ограничений задачи.
Наиболее изученной и распространенной задачей Ц. п. является т. н. задача целочисленного линейного программирования: максимизировать.
33. Сетевое планирование. Основные характеристики сети и их расчет
Тип задач СПУ(сетев. план. и управление) представляет собой систему, основанную на моделировании процессов в народном хозяйстве с помощью совокупности различных мероприятий организационного и управленческого характера. С помощью СПУ решаются задачи: 1) формирование календарного плана реализации нек-го комплекса работ.
2) выявление и мобилизация резервов, затрат временных, трудовых и т.п., видов ресурсов.
3) повышение эффективности управления предприятием в целом при четком делегировании полномочий, ответственным лицам за тот или иной участок работы.
Основой данной методики является сетевая модель, она представляет собой план выполнения некоторого комплекса взаимосвязанных работ или операций в виде сети, графич изображение к-рой называется сетевым графиком.
Главными элементами сетевой модели являются: 1) работа и 2) событие.
Под работой может быть использовано одно из следующих понятий: 1 - собственно сама работа, т.е. протяженный во времени процесс, требующий затрат определенных видов ресурсов.
2 - ожидание, т.е. это затраты времени без затрат др. ресурсов.
3 - фиктивная работа - это такая работа, которую мы вводим чисто из логических побуждений. При этом любая ее оценка равна нулю = 0, даже продолжение во времени.
Событие является завершением (результатом завершения) работы/работ и началом следующего процесса работы/работ. Само по себе событие оценивается в ноль. Ни временных, ни каких-либо оценок быть не может.
Исходным наз-ся такое событие, у которого нет предшествующих работ. Завершающим наз-ся такое событие, после которого больше нет никаких работ. При построении сетев. модели необходимо учесть ряд условий: 1) в модели не должно быть тупиковых событий.
2) в сетевом графике не должно быть нескольких исходных событий. Для соединения исходного и последующего событий нужно ввести фиктивную работу.
3) в графике не должно быть замкнутых петель, т.е. таких событий, к-рые замкнуты сами на себя.
4) любые 2 события м/у собой должны быть непосредственно связаны не более, чем 1 работой.
5) все события или работы сети должны обязательно иметь числовое выражение.
Для обозначения и удобства чтения графиков вводятся следующие параметрические определения: 1) всем событиям присваивается порядковый номер №, даже фиктивным;
2) любая работа имеет исходящее событие и последующее (i,j);
3) вводятся понятие путь - набор работ от исходного события до последующего. Соотвественно выделяют критический путь - наиболее продолжительный полный путь (самый дорогостоящий, путь, показывающий максимум).
34. Календарное планирование. Задача распределения заказов
Любая деятельность протекает во времени, поэтому во многих практически важных случаях оказывается необходимым определить, когда что делать, то есть составить календарный план выполнения работ. Календарный план производит увязку во времени всего множества действий, направленных на достижение цели, причем такая увязка, естественно, должна давать план «получше». И получаться этот план должен в кратчайшие сроки. Специфика возникающих задач календарного планирования, их объем, сложность привели к развитию особой группы моделей и специальных методов решений, которые изучаются в разделе исследования операций, называемом теорией расписания.
Задача распределения заказов. При многономенклатурном производстве, когда одни и те же изделия можно обрабатывать на разных станках, может возникнуть задача распределения заказов по станкам. Обычно, требуется минимизировать общие затраты на все производство. Задача, как правило, очень сложная, но если затраты на изделие пропорциональны времени обработки этого изделия, то можно использовать простой метод, называемый индикаторным. Пример, Пусть надо выполнить четыре заказа: заказ 1 - 100 изделий; заказ 2 - 200 изделий; заказ 3 - 50 изделий; заказ4 - 75 изделий.
Изделия любого заказа можно обрабатывать на любом из четырех станков А, В, С, D, но время выполнения заказов будет разным. Каждый из станков обладает своим ограниченным ресурсом времени для выполнения заказов. Вся информация сводится в табл. Правила расчетов значений Iik (индикатор для i-го заказа и k-го станка) следущие. Станку, имеющему наибольшую производительность обработки изделий данного заказа (то есть имеющему наибольший норматив), присваивается значение индекса, равное 1. (Для заказа 1 станок D - наилучший, поэтому = 1,00).
Следующему по производительности станку приписывается оценка, равная отношению общего числа часов работы рассматриваемого станка к общему числу часов работы по выполнению данного заказа станком с максимальной производительностью. (Для станка А имеем Iia = 1,33 и т. д.).
Заказы надо распределять по станкам в соответствии с минимальными значениями индикатора при условии, что станки имеют достаточный ресурс времени. Некоторые варианты распределения заказов недопустимы, если заказ нельзя дробить (то есть заказ должен быть выполнен на одном станке).
К сожалению, в индикаторном методе нет учета затрат на обработку деталей на станках, хотя косвенно эти затраты приняты во внимание, поскольку индикаторы определяют относительную эффективность работы станков по выполнению каждого заказа.
35. Календарное планирование. Задача Джонсона для двух станков
Любая деятельность протекает во времени, поэтому во многих практически важных случаях оказывается необходимым определить, когда что делать, то есть составить календарный план выполнения работ. Календарный план производит увязку во времени всего множества действий, направленных на достижение цели, причем такая увязка, естественно, должна давать план «получше». И получаться этот план должен в кратчайшие сроки. Специфика возникающих задач календарного планирования, их объем, сложность привели к развитию особой группы моделей и специальных методов решений, которые изучаются в разделе исследования операций, называемом теорией расписания.
Задача Джонсона для двух станков. Пусть есть два станка А и В, каждая деталь должна быть обработана и на станке А (причем в первую очередь), и на станке В (во вторую очередь). Считаются известными времена обработки каждой детали на каждом станке: TIA - время обработки i-ой детали на станке A, TIB - время обработки детали на станке В. Для разных деталей эти времена различные. Важными ограничениями (кроме ограничения на последовательность обработки) являются следующие условия: на каждом из станков можно одновременно обрабатывать только одну деталь; каждая деталь может обрабатываться только на одном станке; процесс обработки детали не может прерываться. Надо определить вариант плана запуска деталей, при котором общее время их обработки будет минимальным.
Отметим, что последовательность запуска деталей в производство на любом станке может быть изменена так, что она совпадает с послед-ю на другом станке, без увеличения времени выполнения плана. Поэтому в оптимальном решении порядок выполнения работ на станке А совпадает с порядком на станке В. Поскольку на первом станке операции можно выполнять без всякой задержки, оптимизация заключается в минимизации времени простоя второго станка. Алгоритм решения задачи прост.
1) Записываются времена работ: № детали 1 2 3 4 5
Станок А 3 4 2 3 1
Станок В 2 1 3 5 4
2) Просматриваются все времена обработки (то есть и для А, и для В), и находится минимальное среди них (t2B = 1 и t5A = 1).
3) Если минимальное время относится к первому станку (то есть это время TIA, в примере t5A = 1), то деталь с соответствующим номером ставится на обработку первой (деталь № 5 будет первой обрабатываться на А, а значит, и на В).
4) Если минимальное время относится ко второму станку (то есть это время TIB), то деталь с соответствующим номером ставится на обработку последней (деталь №1 будет обрабатываться последней).
5) «Забывают» выбранную деталь.
6) Повторяют все сказанное с оставшимися деталями.
7) Если время обработки двух разных деталей на одном станке совпадает и это время меньше времени обработки на другом станке, то порядок обработки этих деталей произволен.
Для приведенного примера оптимальная последовательность обработки: 5-3-4-1-2, общее время обработки 16 единиц времени. Для сравнения: обработка в последовательности 1-2-3-4-5 потребует 21 единицу времени. К сожалению, уже с 3 станками ситуация намного сложнее.
36. Область применения аппарата теории игр. Понятие об игровых моделях. Ситуации в практике, допускающие игровой подход
На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т.е. возникают ситуации, в которых 2 (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Такие ситуации, возникающие при игре в шахматы, шашки, домино и т.д., относятся к конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры - выигрыш одного из партнеров. В экономике конфликтные ситуации встречаемся очень часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом.
Методы решения задач, которые основаны на столкновении различных интересов участников определенной ситуации, отстаивающих собственные интересы, называется теорией игр.
Наиболее распространенными являются модели парной игры, когда участников (игроков) только 2-е. Если более 2-х, то игра приобретает множественный характер. В том случае, когда выигрыш (исход конфликта) одного игрока, является проигрышем другого, такая ситуация называется игрой с нулевой суммой.
Ознакомимся с основными понятиями теории игр. Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте, - игроками, а исход конфликта - выигрышем. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая: 1) варианты действий игроков; 2) объем информации каждого игрока о поведении партнеров; 3) выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий. Как правило, выигрыш (или проигрыш) может быть задан количественно; например, можно оценить проигрыш - 0, выигрыш - 1, а ничью - 1/2.
Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока. Ходы могут быть 1)личными - когда такое действие выбрано осознанно и 2)случайными - когда вмешиваются случайные факторы, либо когда ход 1-го игрока подчиняется ходу другого.
Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется ограниченное число стратегий, и бесконечной - в противном случае.
Чтобы найти решение игры, каждый из игроков должен выбрать такую стратегию (оптимальную), которая обеспечит максимальный выигрыш всем участникам. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т.е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре! Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока.
37. Оптимальные стратегии. Платежная матрица. Седловая точка. Цена игры
Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется ограниченное число стратегий, и бесконечной - в противном случае.
Чтобы найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Они должны также удовлетворять условию устойчивости, т.е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре! Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока.
Чаще всего для решения игровой ситуации используется платежная матрица, в которой строки соответствуют стратегиям 1-го игрока, а столбцы - другого. Для игр, в которых количество игроков больше 2-х используются методы линейного программирования.
В том случае, когда игроки хотят достичь компромисса, или оптимальности, цена игры будет меняться от нижней до верхней. В том случае, если игроки договорились м/у собой и нижняя цена уравновесилась с верхней, она будет называться чистой ценой, а решение, которое при этом принимает каждый из игроков - набор оптимальных стратегий.
Точка пересечения стратегий, в которой находится оптимальное решение называется седловой точкой. Должно соблюдаться правило, что седловая точка будет принимать минимальное решение у 1-го игрока и максимальное - у другого.