Числовые равенства с взаимно простыми основаниями степеней и натуральным показателем степени n > 1. Условия верности таких числовых равенств. Расчет уравнений, при показателе степени равном количеству слагаемых равенств при помощи теоремы Ферма.
Аннотация к работе
В предлагаемой работе рассмотрены числовые равенства вида Установлено, что в подобных верных числовых равенствах с натуральным показателем степени n > 1 и целых, взаимно простых (не имеющих никаких общих множителей кроме 1) основаниях степеней , входящих в него положительных слагаемых и суммы , показатель степени n равен количеству слагаемых R этого равенства.Представим каждое из входящих в числовое равенство слагаемое и сумму в виде тождеств, являющихся биномами Ньютона при натуральном показателе степени n: (2) где: Хк, У - могут принимать любые значения, то есть, являются переменными. Алгебраическое уравнение (4) соответствует числовому равенству (1) и справедливо при любых значениях переменных Хк, У, входящих в это уравнение. Если существует верное числовое равенство (1), где: , - целые основания степеней положительных слагаемых и суммы , n > 1 - натуральный показатель степени, то в соответствующем ему алгебраическом уравнении (4) для любого значения переменной У можно найти такие значения переменных Хк, при которых будут равны между собой все соответствующие слагаемые обеих частей этого равенства. Пусть, например, число иррациональное (при этом число является целым числом, так как основания по условию являются целыми числами), то при показателе степени n > 1 (при этом количество уравнений системы не менее 3), выбрав переменные Хк, У целыми (они могут принимать любые значения, при этом числовое равенство (1) не нарушится), получим, что все левые части системы уравнений (5) будут целыми, в то время как в правой части часть уравнений будет иметь иррациональные значения, что является противоречием. Полученные условия преобразования (9) содержат R уравнений (где R - количество слагаемых равенства (1)) и устанавливают при заданных целых основаниях , соотношения между переменными уравнения (4), при которых любому значению одной из переменных У или Хк можно найти такие значения остальных переменных, при которых будут равны между собой все соответствующие слагаемые обеих частей уравнения (4) (в этом можно убедиться, подставив полученные соотношения (9) в равенство (4)).Пусть имеем систему уравнений (5): Вынеся множители и за скобки, преобразуем ее к виду: Каждое уравнение системы является комбинацией всех предшествующих ему в этой системе уравнений.Пусть существует числовое равенство: где: A, B, C, D, E, F - целые числа. Это числовое равенство путем приведения к общему знаменателю приводится к виду числового равенства с целыми основаниями: (16) Представим полученное числовое равенство в виде: Левая часть числового равенства представляет собой целые числа.
Список литературы
1. Виноградов И.М., Математическая энциклопедия, М., Советская энциклопедия 1977 - 1985.
2. Выгодский Я.Я., Справочник по элементарной математике, М., 1966 г., 424 стр.