Исследование свойств ЛПт последовательностей, их ранжирование по критерию минимального коэффициента парной корреляции. Преимущество ЛПт планов при аппроксимации исходных данных и получении структур моделей, соответствующих структурам истинных моделей.
Аннотация к работе
ПЛАНЫ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИПроведено їх ранжування за критерієм мінімального коефіцієнта парної кореляції. Отримані результати підтверджують висунуту гіпотезу про перевагу ЛП? планів експериментів при апроксимації вихідних даних та одержанні структур моделей, відповідних структурам істинних моделей. Ключові слова: ЛП? рівномірно розподілені послідовності, планування експерименту, кореляція, апроксимація. Проведено их ранжирование по критерию минимального коэффициента парной корреляции. Полученные результаты подтверждают выдвинутую гипотезу о преимуществе ЛП? планов экспериментов при аппроксимации исходных данных и получении структур моделей, соответствующих структурам истинных моделей.ЛПТ последовательности являются наиболее равномерно распределенными в настоящее время последовательностями. Сетки на основе ЛПТ последовательностей, построенные в k-мерном пространстве параметров исследуемых функций, позволяют определить, какие из варьируемых параметров с заданной вероятностью оказывают существенное влияние назначения критериев качества. Использование данной методики обусловлено значительно лучшей оценкой равномерности распределения ЛПТ последовательностей по осям и в пространстве параметров по сравнению с другими последовательностями [6]. Использование ЛПТ последовательностей в качестве планов экспериментов носит несистемный и ограниченный характер, в основном, связанный с вопросами оптимизации. Методика построения ЛПТ последовательностей [8] позволяет построить максимальное число последовательностей, равное 51, количество точек - 220 . В исследовании использовались все последовательности.Полученные резуль-i таты подтверждают выдвинутую гипотезу о преимуществе ЛПТ планов экспериментов при аппроксимации исходных данных и получении структур моделей, соответствующих структурам истинных моделей.
Введение
Постановка проблемы
Планы экспериментов должны соответствовать различным критериям качества. Критерии, позволяющие выбрать структуру математической модели, практически не используются. Статистические свойства планов, в которых точки размещены квазислучайно в многофакторном пространстве (по известным публикациям), исследованы слабо.
При выборе структуры математической модели главные эффекты и эффекты взаимодействий должны быть ортогональными или слабо коррелированными. Это требование достигается путем равномерного распределения точек плана эксперимента в многофакторном пространстве. ЛПТ последовательности являются наиболее равномерно распределенными в настоящее время последовательностями.
Применение ЛПТ последовательностей не ограничивается вычислением многомерных интегралов, случайным поиском (ЛПТ поиск), задачами многокритериальной оптимизации. В [1] приведены статистические свойства некоторых планов на основе ЛПТ равномерно распределенных последовательностей. О возможности их использования в качестве планов экспериментов упоминается в [2].
В [1] изложено оптимальное планирование эксперимента в системе «план эксперимента - структура модели». Предложены рекомендации по использованию ЛПТ планов экспериментов как планов, имеющих значительное число уровней si = N и позволяющих получить больше исходной информации об аппроксимируемой поверхности отклика для непрерывных факторов. Однако конкретные планы экспериментов не приведены.
Применение квазислучайных последовательностей в имитационном моделировании рассматривается в статье [3]. Показано отличие между квазислучайными и псевдослучайными последовательностями. Рассмотрены некоторые статистические свойства ЛПТ последовательностей.
Разработанные И.М. Соболем ЛПТ последовательности, предназначенные изначально для расчета многомерных интегралов, стали позже применяться и для реализации поисковых процедур. Сетки на основе ЛПТ последовательностей, построенные в k -мерном пространстве параметров исследуемых функций, позволяют определить, какие из варьируемых параметров с заданной вероятностью оказывают существенное влияние назначения критериев качества. Позаданной метрике между текущим значением критерия качества и его экстремальным значением можно определить области концентрации наилучших значений критериев качества, построить в многомерном пространстве критериев качества множество Парето [4, 5].
Имеются публикации об использовании ЛПТ последовательностей в задачах оптимального проектирования машин и механизмов [6-8]. При оптимальном проектировании машин и механизмов значительный интерес представляет решение вопросов снижения размерности пространства поиска в целях сокращения объема исследовательских работ. В [6, 7] использовался комбинированный способ построения матрицы планирования методом случайного баланса с помощью ЛПТ сеток и дальнейшей статистической обработки результатов экспериментов. Использование данной методики обусловлено значительно лучшей оценкой равномерности распределения ЛПТ последовательностей по осям и в пространстве параметров по сравнению с другими последовательностями [6].
Нерешенные вопросы
Использование ЛПТ последовательностей в качестве планов экспериментов носит несистемный и ограниченный характер, в основном, связанный с вопросами оптимизации. Научных публикаций по этому вопросу мало. Не приводятся конкретные планы экспериментов. Отсутствуют статистические исследования по выявлению коррелированности ЛПТ последовательностей и их ранжирования. Не рассматривалось использование ЛПТ последовательностей при последовательном планировании экспериментов. Не исследовалось качество получаемых моделей.
Цель статьи
Исследование статистических свойств ЛПТ равномерно распределенных последовательностей. Их ранжирование по критерию минимального коэффициента парной корреляции. Построение планов экспериментов с возможностью последовательного планирования. Проверка возможности построения адекватных математических моделей путем аппроксимации известной функции с помощью планов на основе ЛПТ последовательностей и сравнения их с многофакторными регулярными планами (МРП).
118 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 2
3. Статистические свойства ЛП? равномерно распределенных последовательностей
Разработанные И.М. Соболем ЛПТ последовательности обладают более хорошими свойствами равномерности распределения, чем любые другие последовательности точек в многомерном единичном кубе. Распределение ЛПТ последовательностей в двумерном пространстве приведено на рис. 1.
в - опытов - 31 г - опытов - 31 Рис. 1. Расположение точек ЛПТ последовательностей на плоскости
Использование точек ЛПТ последовательностей, равномерно распределенных в этом кубе, обеспечивает более высокую точность вычислений по некоторым алгоритмам Монте-Карло и более равномерный просмотр пространства параметров при решении задач многофакторной оптимизации для поиска экстремальных значений критериев качества. Теория и алгоритмы построения ЛПТ равномерно распределенных последовательностей приведены в многочисленных работах д.ф.-м.н. И.М. Соболя [8, с. 133-158].
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 2 119
Свойства ЛПТ последовательностей: 1. Выбор в качестве точек плана эксперимента в многомерном пространстве ЛПТ равномерно распределенных последовательностей позволяет получить сравнительно слабо коррелированные главные эффекты и эффекты взаимодействий факторов при выборе структуры математической модели.
2. С увеличением числа опытов N вероятность получения в плане эксперимента точек, достаточно близких к точкам экстремума и перегиба поверхности отклика, стремится к единице, а коэффициент корреляции rj между различными эффектами стремится к i нулю [1, с. 106].
3. Проекция любой ЛП последовательности из N точек в k-мерном пространстве на (k j)-мерную грань 1? j ? k 1) многомерного единичного куба образует также рав- t
( номерно распределенную последовательность из N проекций точек [8, с. 134].
Точки плана эксперимента должны быть равномерно расположены в пространстве параметров Rk . Методика построения ЛПТ последовательностей [8] позволяет построить максимальное число последовательностей, равное 51, количество точек - 220 . В исследовании использовались все последовательности. Оно показало, что равномерно заполняют пространство следующие количества точек: N =1; 3; 7; 15; 31; 63 и т. д. Проанализировав корреляционные матрицы, построенные для точек N =15; 23; 31, были выявлены последовательности с коэффициентами парной корреляции rj =1 (рис. 2). i
120 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 2
Ранжирование последовательностей проводилось последующей методике. Находилось минимальное значение коэффициента корреляции rj . К номерам последовательно- i стей, соответствующих rjmin , прибавляются остальные номера с условием минимальной i коррелированности со всеми выбранными ранее. При этом исследование проводилось для трех матриц с целью обеспечения возможности последовательного планирования. Коэффициенты корреляции между последовательностями не должны превышать поабсолютной величине значения 0,4. Ранжированные таким методом номера последовательностей представлены в табл. 1.
Таблица 1. Номера ЛПТ последовательностей, ранжированных по rjmin i
Номера ЛПТ последовательностей x10 x29 x2 x7 x4 x14 x26 x28 Коэффициенты парной корреляции max | rj | i
В результате ранжирования ЛПТ последовательностей было получено максимально возможное количество слабо коррелированных последовательностей k =8 (N =15).
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 2 121
Для последующего исследования были взяты такие значения: k =8; N1 =1…15; N2 =1…23; N3 =1…31. По ним были построены корреляционные матрицы. Распределение коэффициентов корреляции для каждой матрицы приведено на рис. 3.
Результаты исследования показали, что максимальные коэффициенты корреляции для ранжированных последовательностей не превышают 0,3888.
Полученные последовательности можно использовать в качестве планов экспериментов с возможностью последовательного планирования. Последовательное планирование заключается в том, что изначально для проведения экспериментов берется 15 точек. Если таковых окажется недостаточно, то, используя ранее полученные результаты, проводят эксперименты для точек N =16…23 и N = 24…31. Точки выбранных последовательностей приведены в табл. 2.
122 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 2
Для получения адекватной структуры уравнения регрессии с максимально устойчивыми коэффициентами используют ортогональные контрасты. Теоретические сведения и алгоритмы построения ортогональных нормированных контрастов приведены в [1, с. 54-63]. Коэффициенты корреляции главных эффектов и взаимодействий ортогональных контрастов показаны на рис. 4.
Рис. 4. Диаграммы распределения коэффициентов корреляции главных эффектов и взаимодействий ЛПТ последовательностей x10, x29, x2, x7, x4, x14, x26, x28
4. Вычислительный эксперимент
Сравнение результатов аппроксимации функции Химмельблау [9, с. 80] с помощью моделей многофакторных регулярных планов: 42 //16, 52 //25 и планов на основе ЛПТ последовательностей: 152 //15, 312 //31. Функция Химмельблау: f (X )= (X1 X2 11) (X1 X2 7) , 2
2
2
2 где X1 = 6,0…6,0; X2 = 6,0…6,0.
Погрешности ошибок результатов экспериментов не вводились, так как они бы исказили истинные результаты аппроксимации.
Модель плана 152 //15 с ортогональными контрастами:
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 2 123
Линии равных значений функций и точки планов показаны на рис. 5-8. Полученная модель плана 42 //16 хорошо аппроксимирует заданные точки, однако несоответствует истинной модели
6
4 в других точках (рис. 7). Модель
5
95
65
50
5
2 5
203550 65 80 3 20 плана 152 //15 несоответствует ис-110 тинной модели (Химмельблау). При
125
0 140 140 увеличении числа уровней и исполь-95 зовании плана 312 //31 модель соот- X2
140
80
-2 65 ветствует полностью истинной модели, то есть модели Химмельблау. Для
5
20
35
50
5
-4 ЛПТ планов вероятность расположения пробных точек к экстремальным -6 значениям истинной модели сущест-
-6 -4 -2 0 2 4 6
X1 венно выше, чем для многофактор-Рис. 5. Линии уровней функции Химмельблау ных регулярных планов.
Максимальная степень полинома плана 52 //25, как и модели Химмельблау, равна четырем, в то время как модели плана 42 //16 - трем. Поэтому модель плана 42 //16 несоответствует модели Химмельб-
124 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 2
X2
X2
5
5
5
95
10
5
5
5
95
10
6
6
5
2
5
5
2
5
6
6 лау, а модель плана 52 //25 - соответствует. Однако в реальных прикладных задачах исследователю истинная модель неизвестна.
Химмельблау Точки 152//15 6
4
Химмельблау Точки 312//31 6
4
2
0
X2
-2
-4
203550 65 80 65 503 20 1125
95 05 140 5 5 235
140
140
0
50
6
8
2
0
-2
-4
203550 65 80 65 503 20 1125
95 05 140 5 5 235
140
140
0
50
6
8
-6 -4 -2 0 2 4 6 X1
-6 -4 -2 0 2 4 6 X1 а - точки плана 152 //15 б - точки плана 312 //31
Химмельблау Точки 42//16 6
4
Химмельблау Точки 52//25 6
4
2
0
X2
-2
-4
203550 65 80 65 5035 0 110
14095 05 140 140 5 5 235
95
125
0
50
6
8
2
0
-2
-4
203550 65 80 65 5035 0 110
14095 05 140 140 5 5 235
95
125
0
50
6
8
-6 -4 -2 0 2 4 6 X1
-6 -4 -2 0 2 4 6 X1 в - точки плана 42 //16 г - точки плана 52 //25
Рис. 6. Размещение точек планов аппроксимации
6 6
Химмельблау Химмельблау 4 4
2
0
X2
-2
-4
-6 -4 -2
6
42//16 152//15
0 2 4 X1
2
0
X2
-2
-4
6 -6 -4 -2
6
52//25 312//31
0 2 4 6 X1
Рис. 7. Линии уровней функции Химмельблау, моделей: 152 //15, 42 //16
Рис. 8. Линии уровней функции Химмельблау, моделей планов: 312 //31, 52 //25
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 2 125
Поэтому для решения реальных задач необходимо использовать план на основе ЛПТ равномерно распределенных последовательностей 312 //31. Анализ информативности моделей приведен в табл. 3.
Коэффициент множественной скорректированный корреляции с учетом степеней 0,989415 0,997731 0,985602 свободы
Число обусловленности COND 2,059700 1,41596 1,000000 Анализ остатков поисходной матрице
Средняя абсолютная погрешность ап- 16,12690 2,156060 2,27374e-13 проtrialции
Средняя погрешность аппроксимации 96,26810 4,206960 2,58356e-13 в процентах
Анализ остатков поконтрольной матрице N = 63 Средняя абсолютная погрешность 61,07780 2,335160 221,7120 аппроксимации
Средняя погрешность аппроксимации 68,99710 2,707620 586,6440 в процентах
52 //25 1,000000 1,000000
1,000000
1,000000
0,000480
0,002568
0,000611
0,002128
Вывод
Исследованные планы экспериментов на основе ЛПТ последовательностей (табл. 2) характеризуются минимально возможной коррелированностью (| rj |? 0,4). Полученные резуль- i таты подтверждают выдвинутую гипотезу о преимуществе ЛПТ планов экспериментов при аппроксимации исходных данных и получении структур моделей, соответствующих структурам истинных моделей. Эти планы позволяют проводить последовательное планирование экспериментов.
Список литературы
1. Радченко С.Г. Методология регрессионного анализа / Радченко С.Г. - К.: Корнійчук, 2011. - 376 с.
2. Орлов В.А. Новое семейство квазислучайных последовательностей / В.А. Орлов, В.И. Рейзлин // Известия Томского политехнического университета. - 2012. - Т. 320, № 2. - С. 24 - 26.
3. Ermakov S. On the Quasi-Random Sequence in the Random Processes Modeling Algorithms // S. Er-makov, T. Tovstik // Focus on Applied Statistics. Nova Science Publishers. - 2003. - P. 91 102.
4. Соболь И.М. ЛП-поиск и задачи оптимального проектирования / И.М. Соболь, Р.Б. Статников // Проблемы случайного поиска: сб. статей. Рига: Зинатне, 1972. - С. 117 - 135.
5. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара / Соболь И.М. - М.: Физ-матлит, 1969. - 288 с.
6. Планирование экспериментов с помощью ЛПТ -сеток при решении задач оптимального проектирования / В.Г. Крейнин, В.И. Сергеев, И.Н. Статников [и др.] // АН СССР. Моделирование задач машиноведения на ЭВМ: сб. статей. - М.: Наука, 1967. - С. 26 - 31.
7. Использование методов планирования экспериментов при проектировании динамических систем / О.Б. Балакшин, В.П. Гусев, В.А. Ковановская [и др.] // АН СССР. Моделирование задач машиноведения на ЭВМ: сб. статей. - М.: Наука, 1967. - С. 32 36.
126 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 2
8. Соболь И.М. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями / И.М. Соболь, Р.Б. Статников. - [2-е изд., перераб. и доп.]. - М.: Дрофа, 2006. - 175 с.
9. Реклейте Г. Оптимизация в технике: в 2-х кн. / Реклейте Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К.; пер. с англ. - М.: Мир, 1986. - Кн. 1. - 345 с.
Стаття надійшла до редакції 27.09.2013
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 2 127