Питання розв’язності та поведінки розв’яку задачі Неймана для квазілінійних параболічних рівнянь з абсорбцією в областях з некомпактними границями - Автореферат
Двостороння оцінка максимуму розв’язку задачі Неймана у необмежених областях, що "звужуються на нескінченності" для параболічного рівняння, що вироджується з абсорбцією. Поведінка розв’язку мішаної задачі для рівняння в залежності від геометрії області.
Аннотация к работе
Початок досліджень початково-крайових задач для лінійних дивергентних рівномірно параболічних рівнянь із вимірними коефіцієнтами в областях з некомпактними границями поклав А.К. У широкому класі областей з некомпактними границями він отримав точні оцінки максимуму розвязку початково-крайової задачі Неймана. Andreucci) у вузьких та широких областях було розглянуто початково-крайову задачу Неймана для рівняння з подвійною нелінійністю у випадку повільної дифузії. Friedman) у 1983 році, досліджуючи задачу Коші для рівняння та початковою дельта-функцією Дірака, встановили критичний показник ( - розмірність простору) такий, що при існує розвязок цієї задачі Коші, а при задача не має розвязку. Отримано показник для рівняння (2) такий, що при існує слабкий розвязок початково-крайової задачі Неймана для рівняння (1) з початковою функцією - невідємною мірою Радона, а при і початковою функцією - дельта-функцією Дірака такого розвязку не існує.У вступі обґрунтовується актуальність теми, формулюються мета і задачі дослідження, вказано на звязок дисертації з науково-дослідною роботою відділу рівнянь математичної фізики Інституту прикладної математики і механіки НАН України, де вона була виконана, відзначена новизна основних результатів, їх практичне значення, а також апробація. N-вимірна міра області , , , - простір раз неперервно-диференційованих в області функцій, - простір функцій, що належать до та мають компактний носій, що вкладається до , - Банахів простір функцій, вимірних в та сумовних за Лебегом з показником , з нормою нейман задача параболічний абсорбція і - Умова (7) є умовою типа регулярності області, перша компонента в оцінці зявляється в силу класичної ізопериметричної нерівності в обмежених областях з ліпшицевою границею, а друга компонента, , має сенс площі . Будемо говорити, що необмежена область , належить до класу , якщо її границя локально неперервна за Ліпшицем та виконуються умови (6)-(8). Тоді задача (3)-(5) має глобальний розвязок, визначений для усіх , що задовольняє оцінкуУ дисертаційній роботі розглянуто початково-крайові задачі Наймана для квазілінійних параболічних рівнянь з абсорбуючим членом й без такого в областях з некомпактними границями. У розділі 2 встановлено точні двосторонні оцінки максимуму розвязку другої мішаної задачі для квазілінійного параболічного рівняння в областях з нескінченними границями, що “звужуються на нескінченності”, розглянуто випадок швидкої дифузії. Чисельною характеристикою, що забезпечує такі оцінки, виступила величина, за допомогою якої описується геометрія необмеженої області, де розглядається задача. У розділі 3 у широкому класі необмежених областей досліджено задачу Неймана для параболічного рівняння з подвійною нелінійністю та абсорбцією.
План
Основний зміст роботи
Вывод
У дисертаційній роботі розглянуто початково-крайові задачі Наймана для квазілінійних параболічних рівнянь з абсорбуючим членом й без такого в областях з некомпактними границями.
У розділі 2 встановлено точні двосторонні оцінки максимуму розвязку другої мішаної задачі для квазілінійного параболічного рівняння в областях з нескінченними границями, що “звужуються на нескінченності”, розглянуто випадок швидкої дифузії. Чисельною характеристикою, що забезпечує такі оцінки, виступила величина, за допомогою якої описується геометрія необмеженої області, де розглядається задача. Отриманий результат узагальнює результати А.К. Гущина, А.В. Лежнєва, В.І. Ушакова для лінійних рівнянь та А.Ф. Тедеєва для квазілінійних рівнянь у вузьких та широких областях у випадку повільної дифузії.
У розділі 3 у широкому класі необмежених областей досліджено задачу Неймана для параболічного рівняння з подвійною нелінійністю та абсорбцією. Отримано умови існування та неіснування слабкого розвязку задачі у термінах критичного показника абсорбції, однак випадок самого критичного показника дослідити не вдалося. Отримані умови в точності співпадають з аналогічними для задачі Коші, отримані Х.Ж. Фаном.
У розділі 4 вивчено задачу Неймана для параболічного рівняння з подвійною нелінійністю і абсорбцією, де показник абсорбуючого доданку - критичний. Методами, які відрізняються від використовуваних у розділі 3, встановлено факт усунення особливості у початку координат.
Список литературы
1. Болдовская О.М. Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана для вырождающихся квазилинейных параболических уравнений в областях с некомпактной границей. Случай медленной диффузии / О.М. Болдовская // Труды ИПММ. - 2008. - Т. 16, № 1. - С. 33-54.
2. Болдовская О.М. Устранение особенностей решений задачи Неймана для вырождающихся параболических уравнений с абсорбцией / О.М. Болдовская // Нелин. гр. задачи. - 2008. - Т. 18. - C. 1-19.
3. Болдовская О.М. Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. Случай быстрой диффузии / О.М. Болдовская, А.Ф. Тедеев // УМВ. - 2009. - Т. 6, № 1. - C. 16-38.
4. Болдовская О.М. Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана для вырождающихся квазилинейных параболических уравнений в областях с некомпактной границей. Случай быстрой диффузии / О.М. Болдовская // Вісник ДОННУ, Серія A: Природничі науки. - 2009. - вип. 1. - С. 52-59.
5. Болдовская О.М. Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. Случай быстрой диффузии / О.М. Болдовская, А.Ф. Тедеев // Доповіді НАН України. - 2009. - № 6. - С. 14-20.
6. Болдовская О.М. Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в областях с бесконечными границами, сужающимися на бесконечности. Случай быстрой диффузии / О.М. Болдовская, А.Ф. Тедеев // Тези доповідей Всеукраїнської наукової конференції молодих вчених і студентів з диференціальних рівнянь та їх застосувань, присвяченої 100-річневому ювілею Я.Б. Лопатинського. - Донецьк, ДОННУ, 2006. - С. 18-19.
7. Boldovskaya O.M. Existence and nonexistence results for the degenerate Neumann problem in domains with noncompact boundary / O.M Boldovskaya // Book of abstracts. International conference "Nonlinear partial differential equations". - Yalta, September10-15, 2007. - P. 15.
8. Болдовская О.М. Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана для вырождающихся квазилинейных параболических уравнений в областях с некомпактной границей. Случай быстрой диффузии / О.М. Болдовская // Book of abstracts. Second International conference of young mathematicians on differential equations and applications dedicated to Ya. B. Lopatinskii. - Donetsk, November 11-14, 2008. - С. 44-45.