Пьер Ферма и его теорема - Контрольная работа

Удивительная загадка Ферма выстрадала свое право занять достойное место и в сокровищнице математических знаний, и в каждой школе мира рядом со своей сестрой - теоремой Пифагора. Если теорема Пифагора имеет 400 доказательств, то пусть в первое время у теоремы Ферма будет всего 4 простых доказательства. Пьер Ферма родился на юге Франции в городке Бомонде-Ломань, где его отец - Доминик Ферма - был "вторым консулом", т. е. чем-то вроде помощника мэра. 18 октября 1640 года Ферма высказал следующее утверждение: если число, а не делится на простое число р, то существует такой показатель к, что а-1 делится на р, причем является делителем р-1. На полях, против этой задачи, Ферма написал: "Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем.Загадки нужно разгадывать. Великая теорема Ферма - задача невероятно трудная, и тем не менее ее можно сформулировать так, что она станет понятной даже школьнику.

Прошло 375 лет после того как Пьер Ферма изложил на полях книги Великую теорему, всполошившую всех ученых.

На протяжении всех этих лет ученые пытались доказать эту теорему.

Но это уникальное творение Ферма и само уже целое столетие загнано в «подполье», объявлено «вне закона», стало самой презренной и ненавистной задачей во всей истории математики. Но настало время этому «гадкому утенку» математики превращаться в прекрасного лебедя! Удивительная загадка Ферма выстрадала свое право занять достойное место и в сокровищнице математических знаний, и в каждой школе мира рядом со своей сестрой - теоремой Пифагора. Такая уникальная, изящная задача просто не может не иметь и красивые, изящные решения. Если теорема Пифагора имеет 400 доказательств, то пусть в первое время у теоремы Ферма будет всего 4 простых доказательства.

Может, постепенно их станет больше.

Я хочу рассказать об этой уникальной проблеме всех ученых.

Биография Пьер Ферма

Пьер Ферма родился на юге Франции в городке Бомонде-Ломань, где его отец - Доминик Ферма - был "вторым консулом", т. е. чем-то вроде помощника мэра.

Ферма направил всю силу своего гения на математические исследования. И все же математика не стала его профессией. Ферма избирает юриспруденцию. С 1630 года Ферма переселяется в Тулузу, где получает место советника в Парламенте (т. е. суде). В 1631 году Ферма женился на своей дальней родственнице с материнской стороны - Луизе де-Лонг. У Пьера и Луизы было пятеро детей, из которых старший, Самюэль, стал поэтом и ученым.

Крупную заслугу Ферма перед наукой видят, обыкновенно, во введении им бесконечно малой величины в аналитическую геометрию, подобно тому, как это, несколько ранее, было сделано Кеплером в отношении геометрии древних.

До Ферма систематические методы вычисления площадей разработал итальянский ученый Кавальери. Но уже в 1642 году Ферма открыл метод вычисления площадей, ограниченных любыми "параболами" и любыми "гиперболами". Им было показано, что площадь неограниченной фигуры может быть конечной.

Ферма одним из первых занялся задачей спрямления кривых, т.е. вычислением длины их дуг. Он сумел свести эту задачу к вычислению некоторых площадей.

Несмотря на отсутствие доказательств (из них дошло только одно), трудно переоценить значение творчества Пьера Ферма в области теории чисел. Ему одному удалось выделить из хаоса задач и частных вопросов, сразу же возникающих перед исследователем при изучении свойств целых чисел, основные проблемы, которые стали центральными для всей классической теории чисел. Ему же принадлежит открытие мощного общего метода для доказательства теоретико-числовых предложений - так называемого метода неопределенного или бесконечного спуска, о котором будет сказано ниже. Поэтому Ферма по праву может считаться основоположником теории чисел.

18 октября 1640 года Ферма высказал следующее утверждение: если число, а не делится на простое число р, то существует такой показатель к, что а-1 делится на р, причем является делителем р-1. Это утверждение получило название малой теоремы Ферма. Оно является основным во всей элементарной теории чисел.

В задаче второй книги своей "Арифметики" Диофант поставил задачу представить данный квадрат в виде суммы двух рациональных квадратов. На полях, против этой задачи, Ферма написал: "Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки". Это и есть знаменитая Великая теорема.

Великая теорема стоит на первом месте по числу данных ей неверных доказательств. Великая теорема связана не только с алгебраической теорией чисел, но и с алгебраической геометрией, которая сейчас интенсивно развивается.

Сам Ферма оставил доказательство Великой теоремы для четвертых степеней.

В прошлом веке Куммер, занимаясь Великой теоремой Ферма, построил арифметику для целых алгебраических чисел определенного вида. Это позволило ему доказать Великую теорему для некоторого класса простых показателей n. В настоящее время справедливость Великой теоремы проверена для всех показателей n меньше 5500.

Из других работ Пьера Ферма остается упомянуть: 1) об его занятиях решением некоторых вопросов теории вероятностей, вызванных или поставленных перепискою с Блезом Паскалем;

2) о попытках восстановления некоторых из утраченных произведений древних греческих математиков и, наконец, 3) об его спорах с Декартом по поводу метода определения наибольших и наименьших величин и по вопросам диоптрики.

Пьер Ферма скончался 12 января 1665 года во время одной из деловых поездок.

Современники характеризуют Ферма как честного, аккуратного, уравновешенного и приветливого человека, блестяще эрудированного как в математике, так и в гуманитарных науках, знатока многих древних и живых языков, на которых он писал неплохие стихи.

Правильные многоугольники

Я хочу знать, когда с помощью циркуля и линейки можно построить правильный n-угольник. Чтобы получить разумный ответ, нужно уточнить постановку задачи. А именно нужно фиксировать размер и положение правильного n-угольника (иначе число решений будет бесконечно, при условии, что есть хотя бы одно решение). Итак, будем считать, что наш n-угольник вписан в данную окружность g с центром О, и фиксировано положение А0 одной его вершины. Требуется определить положения А1, А2, …, An-1 остальных вершин. Разумеется, достаточно найти положение точки А1 - откладывая последовательную дугу А0А1, мы получим точки А2, А3, А4 и т.д.

Проще всего эта задача решается при n=6. Известно, что сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу данной окружности. Поэтому нужная «программа» выглядит так (приложение 1): Циркулем построить из точки А0окружность G1 с радиусом ОА0.

Отметить точку А1пересечения окружностей G и G1.

Мы видим, что эта программа приводит к двум разным ответам, но соответствующие шестиугольники А0А1’А2’А3’А4’А5’ и A0A1”A2”A3”A4”A5” отличаются лишь порядком нумерации вершин. Такая же ситуация наблюдается в случаях n=3 и n=4. Более интересные случаи n=5 и n=10. Я разберу здесь случай n=10.

Если провести биссектрису А1В угла ОА1А0, то образовавшиеся треугольники ОА1В, ВА1А0, будут равнобедренными, а треугольники ОА1А0 и ВА1А0 - подобными. Будем считать прямую ОА0 числовой осью, на которой точке О соответствует нулю, а точка А0 - единице.

Решив это уравнение, мы найдем точку В. Искомая точка А1 найдется как точка пересечения данной окружности G с окружностью с центром в точке А0 и радиусом длиной х. Таких точек 2 - и получается два решения: точки А1’ и А1”.

Второй корень отрицателен и по этой причине вроде бы не годится. Однако не будем спешить «отбрасывать» этот корень, а попробуем понять его геометрический смысл.

Восстановим предыдущий рисунок (приложение 3), считая, что точка В находится не справа, а слева от точки О. Мы получим другой рисунок (приложение 3). Это даст для искомой точки А1еще два возможных положения: А1”’ и А1””.

Итак, мы пришли к четырем различным возможностям для точки А1. В результате получается два разных десятиугольника: выпуклый и звездчатый (приложения 2,3).

Заметим, что с «точки зрения» циркуля и линейки звездчатый десятиугольник ничем не хуже выпуклого.

Возможно возражение: у выпуклого многоугольника несмежные стороны не пересекаются, а у звездчатого пересекаются. Но это возражение отпадает, если мы стороной будем называть не отрезок между двумя вершинами (понятия «между» у нас нет!), а всю прямую. Тогда правильный чертеж «выпуклого» десятиугольника будет иметь вид, лишь размером отличающегося от «звездчатого» (приложение 4).

Аналогичная ситуация возникает в случае пятиугольников. Здесь тоже имеется 4 решения, приводящих к двум различным пятиугольникам (приложение 5, а, б) с двумя различными нумерациями вершин на каждом.

Теперь, не решая явно задачи на построения произвольного правильного n-угольника, попробуем установить, сколько у нее различных решений. Обозначим через х длину дуги А0А1. Точка А1 является решением задачи (с точки зрения циркуля), если, откладывая дугу длины х от точки А0 последовательно n раз, мы вернемся в исходную точку А0, а откладывая меньшее число раз - не вернемся.

Последняя оговорка существенна, иначе в случае, например, n=6 нам пришлось бы назвать «правильным вписанным шестиугольником» дважды пройденный треугольник, или трижды пройденный диаметр, или даже шесть раз повторенную точку А0.

На языке арифметики, принимая длину всей окружности за единицу, наше условие можно сформулировать так: число nx - целое, а числа х, 2х, 3х, …, (n-1)х - не целые. Это соответствует тем четырем решениям, которые мы раньше нашли геометрическим способом. Заметим, что если взять в качестве х число (или , ,…), то новых геометрических решений мы не получим: положение точки на окружности зависит не от самого числа х = , а от остатка, который дает k при делении на n.Ясно, что несократимые дроби (m<n) и только они обладают тем свойством, что k попадает в целое число (в начальную точку окружности) лишь при k=n. Таким образом, каждое число, меньшее n и взаимно простое с ним дает решение задачи о правильномn-угольнике, и мы получаем, что число этой задачи дается функцией Эйлера. В частности ф(3)=ф(4)=ф(6)=2; ф(5)=ф(10)=4 что согласуется с результатами, полученными выше геометрическим путем. Всякая разрешаемая задача на построение с помощью циркуля и линейки должна иметь 2l различных решений, мы получим удобное необходимое условие для разрешимости задачи построения правильного n-угольника.

Правильный n-угольник допускает построение циркулем и линейкой только тогда, когда ф(n)=2l для некоторого целого l.

(Например, правильный семиугольник построить невозможно, так как число ф(n)=6 не является степенью двойки.)

Необходимость этого условия я постаралась объяснить. То, что оно является так же достаточным,- отдельный результат.

Числа Ферма

Полученный результат не исчерпывает полностью поставленную задачу. Остается невыясненным вопрос - а много ли таких чисел n, для которых ф(n)=2l, т.е. много ли вообще «красных» чисел?

Разумеется, про каждое отдельное число мы можем довольно быстро сказать, красное оно или черное - достаточно вычислить ф(n). Но это не даст наглядного описания всей совокупности красных чисел. Оказывается, поиск такого описания приводит к трудной и до сих пор не решенной проблемы из теории чисел.

Разложим n на простые множители: n=p1m1 p2m2 … pkmk, где p1,…,pk - различные простые числа, и посчитаем ф(n). Из свойств функции Эйлера (1) и (2) мы получаем: ф(n)=ф(р1m1) ф(р2m2) … ф(pkmk)=p1m1-1 p2m2-1(p1-1)(p2-1)…(pk-1).

Чтобы правая часть последнего выражения была степенью двойки, нужно, чтобы каждый нечетный простой множительр1 входил в него с показателем m1=1: при этом само число р1обязано иметь вид р1=2l 1. С другой стороны, выражение 2l 1 может быть простым лишь тогда, когда l - степень двойки. Итак, каждый нечетный множитель р1= 1.

Числа вида 1 получили название чисел Ферма. Первые пять чисел Ферма (при k=0,1,2,3,4) - 3, 5, 17, 257, 65537 - действительно оказались простыми. Как обнаружил Эйлер, шестое число Ферма 1 делится на 641.

Со времен Эйлера числами Ферма интересовались математики разных стран. В частности, почти ровно сто лет назад 1878 году, на заседании Петебургской академии наук слушалось сообщение Е.И. Золотарева о работе, представленной академии священником Ионном Первушиным. В этой работе устанавливалось, что число делится на 167722161 = 5 225 1.

В последнее время многие числа Ферма исследованы на компьютерах. Среди них простых чисел обнаружить так и не удалось, так что до сих пор неизвестно, существуют ли простые числа Ферма, кроме первых пяти. Поэтому я вынуждена сформулировать ответ на задачу в может еще не окончательной форме: Правильный n-угольник допускает построение циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда n=2k р1 р2 … рк , где р1 - попарно различные числа Ферма.

Великая теорема Ферма

Для любого натурального числа n> 2 уравнение xn yn=zn не имеет натуральных решений x,y и z.

Теорема была сформулирована Пьером Ферма примерно в 1630 году на полях книги Диофанта "Арифметика" следующим образом: "невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем". И далее добавил: "я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком малы". В бумагах Пьера Ферма нашли доказательство теоремы Ферма для n = 4. Нездоровый интерес к доказательству этой теоремы среди неспециалистов в области математики был в свое время вызван большой международной премией, аннулированной в конце первой мировой войны. Предполагается, что доказательство теоремы Ферма вообще не существовало.

Для n = 3 теорему Ферма доказал Л. Эйлер, для n = 5 И. Дирихле и А. Лежандр, для n = 7 - Г. Ламе. Теорему Ферма достаточно доказать для любого простого показателя n = p> 2, т. е. достаточно доказать, что уравнение xn yn=zn не имеет решений в целых ненулевых взаимно простых числах x, y, z.

Можно также считать, что числа x и y взаимно простых с p. При доказательстве теоремы Ферма рассматривают два случая: первый случай, когда (xyz, p) = 1 и второй случай, когда p|z.

Доказательство второго случая теоремы Ферма более сложно и обычно проводится методом бесконечного спуска.

Теорема Ферма может быть сформулирована так: для любого натурального числа n> 2 на кривой Ферма xn yn = 1 нет рациональных точек, кроме тривиальных (0, ±1), (±1,0). Рациональные точки на кривой Ферма исследуются методами алгебраической геометрии. Этими методами доказано, что число рациональных точек на кривой Ферма во всяком случае конечно, что следует из гипотезы Морделла, доказанной Г. Фалтингсом.

Уравнение Ферма рассматривается в алгебраических числах, целых функциях, матрицах и т.д. Имеются обобщения теоремы Ферма для уравнений вида ферма число теорема доказательство xn yn=Dzn.

Облегченная теорема Ферма

Если х, у, z, n - натуральные числа, причем n?z, то равенство xn yn=zn невозможно.

Доказательство: Пусть существуют натуральные числа x, y, n, я такие, что n?z и xn yn=zn. Нетрудно заметить, что xxn, вопреки нашему ожиданию, что xn yn=zn. Отсюда следует справедливость утверждения.

Что и требовалось доказать.

Малая теорема Ферма

Для любого простого р и целого а, ар-1 - 1 делится на р.

Доказательство: Рассмотрим два случая: a делится на p; a не делится на p.

1) a делится на p;

Тогда используя сравнения запишем: a ? 0 (mod p);

ap ? 0 (mod p);

Илиар ? a (mod p).

В этом случае теорема доказана.

2) a не делится на p;

Рассмотримчислаа, 2a, 3a,...,(p - 1)a(*).

Покажем, что эти числа дают разные остатки при делении на p. Очевидно, остаток также не может быть 0.

Докажем от обратного.

Пусть какие-то два числа ka, na имеют одинаковые остатки при делении на p (пусть k>n). Тогда разность ka - na делится на p. Значит (k - n)a делится на p. Но a не делится на p, а разница k - n меньше p и отлична от нуля, потому также не делится на p. Мы пришли к противоречию - наше предположение, что числа(*)могут давать одинаковые остатки при делении на p ошибочно. Запишемэто: a ? r1 (mod p);

2a ? r2 (mod p);

...

(p - 1)a ? rp - 1 (modp);

Используя свойства сравнения перемножаем предыдущие сравнения. Так как всего множителей p - 1, а все остатки при делении на p разные, то справа будет (p - 1)! ap - 1(p - 1)! ? (p - 1)! (modp);

(ap - 1 - 1)(p - 1)! ? 0 (modp);

Но (p - 1)! не делится на p, так как p - простое, а все множители факториала меньше p. Значит (ap - 1 - 1) делится на p.

(ap - 1 - 1) ? 0 (mod p);

ap - 1 ? 1 (mod p);

ap ? a (modp);

Что и требовалось доказать.

Пример 1.

Вычислить остаток от деления степени 34746 на 13.

Решение: По малой теореме Ферма, если p - простое, то остаток от деления степени ар-1 на р равен 1.

Поэтому при вычислении остатка от деления 34746 на 13 мы можем не только сразу уменьшить основание степени до 8 - остатка от деления 34 на 13, но заметив, что 812 при делении на 13 дает остаток 1, записываем далее: 8745=812*62 1= 812*62*8, поэтому искомый остаток равен 8.

Пример 2.

Какой остаток при делении на 17 дает число 96514?

Решение: Малая теорема Ферма помогает заменить заданную степень степенью с маленьким показателем: вместо показателя степени рассматривается его остаток от деления на 16.

Задача существенно упростилась, а дальнейшее решение удобно провести с помощью сравнений, рассматривая сравнения по модулю 17. Поскольку 96 = 11 = -6, то 963?(-6)?-63?-36*6?-12?5

Фермисты

В то время в кругу математиков появилось полупрезрительное прозвище - фермист. Так называли всякого самоуверенного выскочку, которому не хватало знаний, но зато с лихвой хватало амбиций для того, чтобы второпях попробовать силенки в доказательстве Великой теоремы, а затем, не заметив собственных ошибок, гордо хлопнув себя в грудь, громко заявить: «Я первый доказал теорему Ферма!». Каждый фермист, будь он хоть даже десятитысячным по счету, считал себя первым - это и было смешным. Простой внешний вид Великой теоремы так сильно напоминал фермистам легкую добычу, что их абсолютно не смущало, что даже Эйлер с Гауссом не смогли справиться с ней.

Но полностью доказать теорему Ферма не может никто.

Для случая n=3 эту теорему в Х веке пытался доказать ал-Ходжанди, но его доказательство не сохранилось.

Эйлер в 1770 году доказал теорему для случая n=3, Дирихле и Лежандр в 1825 - для n=5, Ламе - для n = 7. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, за возможным исключением (иррегулярных простых 37, 59, 67)

Последний, но самый важный шаг в доказательстве теоремы был сделан Уайлсом в сентябре 1994 года. Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после 7 лет напряженной работы), но в нем вскоре обнаружился серьезный пробел, который с помощью Ричарда Тейлора удалось достаточно быстро ликвидировать. В 1995 году был опубликован завершающий вариант.

В современном мире до сих пор много загадок в науке. Загадки нужно разгадывать. Ведь сама наша жизнь, как теорема Ферма, сложная. Любопытная и таинственная.

Таких теорем как эта достаточное количество.

Великая теорема Ферма - задача невероятно трудная, и тем не менее ее можно сформулировать так, что она станет понятной даже школьнику. Ни в физике, ни в химии, ни в биологии нет, ни одной проблемы, которая формулировалась бы так просто и определенно и оставалась нерешенной так долго.

Доказательство Великой теоремы Ферма стало самым ценным призом в теории чисел, и поэтому не удивительно, что поиски его привели к некоторым наиболее захватывающим эпизодам в истории математики.

1. Зильберберг Н.И. «Алгебра и начало математического анализа».

2. Капица С.П. «Замечательные ученые».

3. Квант №6, 1994 г.

4. Квант №8, 1792 г.

5. Квант №8, 1978 г.

6. Квант №9, 1991 г.

7. Квант №10, 1991 г.

8. Тихомиров В.М. «Рассказы о максимумах и минимумах».

9. Штейнгауз Г. «Сто задач».

10. Юшкевич А.П. «Из истории возникновения математического анализа».

11. Сборник ЕГЭ 2011 по математике.

а)

б)

Творческая работа Загайновой Ольги и Загайновой Натальи. Математик и дьявол

После нескольких месяцев напряженной работы по изучению бесчисленных выцветших манускриптов Саймону Флэггу удалось вызвать дьявола. Жена Саймона, знаток средневековья, оказала ему неоценимую помощь. Сам он, будучи всего лишь математиком, не мог разбирать латинские тексты, особенно осложненные редкими терминами демонологии X века. Замечательное чутье миссис Флэгг пришлось тут как нельзя кстати. После предварительных стычек Саймон и черт сели за стол для серьезных переговоров. Гость из ада был угрюм, так как Саймон презрительно отверг его самые заманчивые предложения, легко распознав смертельную опасность, скрытую в каждой соблазнительной приманке. - А что, если теперь вы для разнообразия выслушаете мое предложение? - сказал наконец Саймон. - Оно, во всяком случае, без подвохов. Дьявол раздраженно покрутил раздвоенным кончиком хвоста, будто это была обыкновенная цепочка с ключами. Очевидно, он был обижен. - Ну что ж, - сердито согласился он. - Вреда от этого не будет. Валяйте, мистер Саймон! - Я задам вам только один вопрос, - начал Саймон, и дьявол повеселел. - Вы должны ответить на него в течение двадцати четырех часов. Если это вам не удастся, вы платите мне сто тысяч долларов. Это скромное требование - вы ведь привыкли к неизмеримо большим требованиям. Никаких миллиардов, никаких Елен троянских на тигровой шкуре. Конечно, если я выиграю, вы не должны мстить. - Подумаешь! - фыркнул черт. - А какова ваша ставка? - Если я проиграю, то на короткий срок стану вашим рабом. Но без всяких там мук, гибели души и тому подобного - это было бы многовато за такой пустяк, как сто тысяч долларов. Не желаю я вреда и моим родственникам или друзьям. Впрочем, - подумав, добавил он, - тут могут быть исключения. Дьявол нахмурился, сердито дергая себя за кончик хвоста. Наконец он дернул так сильно, что даже скривился от боли, и решительно заявил: - Очень жаль, но занимаюсь только душами. Рабов у меня и так хватает. Если бы вы знали, сколько бесплатных и чистосердечных услуг оказывают мне люди, вы были бы поражены. Однако вот что я сделаю. Если в заданное время я не смогу ответить на ваш вопрос, вы получите не жалкие сто тысяч долларов, а любую - конечно, не слишком дикую - сумму. Кроме того, я предлагаю вам здоровье и счастье до конца вашей жизни. Если же я отвечу на ваш вопрос - ну что ж, последствия вам известны. Вот все, что я могу вам предложить.

Он взял из воздуха зажженную сигару и задымил. Воцарилось настороженное молчание. Саймон смотрел перед собой, ничего не видя. Крупные капли пота выступили у него на лбу. Он отлично знал, какие условия может выставить черт. Мускулы его лица напряглись... Нет, он готов прозакладывать душу, что никто - ни человек, ни зверь, ни дьявол - не ответит за сутки на его вопрос. - Включите в пункт о здоровье и счастье мою жену - и по рукам! - сказал он. - Давайте подпишем. Черт кивнул. Он вынул изо рта окурок, с отвращением посмотрел на него и тронул когтистым пальцем. Окурок мгновенно превратился в розовую мятную таблетку, которую черт принялся сосать громко и с явным наслаждением. - Что касается вашего вопроса, - продолжал он, - то на него должен быть ответ, иначе наш договор недействителен. В средние века люди любили загадки. Нередко ко мне приходили с парадоксами. Например: в деревне жил только один цирюльник, который брил всех, кто не брился сам. Кто брил цирюльника? - спрашивали они. Но, как отметил Рассел, словечко "всех" делает такой вопрос бессмысленным, и ответа на него нет. - Мой вопрос честный и не содержит парадокса, - заверил его Саймон. - Отлично. Я на него отвечу. Что вы ухмыляетесь? - Я... ничего, - ответил Саймон, согнав с лица усмешку. - У вас крепкие нервы, - сказал черт мрачным, но одобрительным тоном, извлекая из воздуха пергамент. - Если бы я предстал перед вами в образе чудовища, сочетающего в себе миловидность ваших горилл с грациозностью монстра, обитающего на Венере, вы едва ли сохранили бы свой апломб, и я уверен... - В этом нет никакой надобности, - поспешно сказал Саймон. Он взял протянутый ему договор, убедился, что все в порядке, и открыл перочинный нож. - Минуточку! - остановил его дьявол. - Дайте я его продезинфицирую. - Он поднес лезвие к губам, слегка подул, и сталь накалилась до вишнево-красного цвета. - Ну вот! Теперь прикоснитесь кончиком ножа... гм... к чернилам, и это все... Прошу вас, вторая строчка снизу, последняя - моя. Саймон помедлил, задумчиво глядя на раскаленный кончик ножа.

- Подписывайтесь, - поторопил черт, и Саймон, расправив плечи, поставил свое имя. Поставив и свою подпись с пышным росчерком, дьявол потер руки, окинул Саймона откровенно собственническим взглядом и весело сказал: - Ну, выкладывайте свой вопрос! Как только я на него отвечу, мы отправимся. Мне надо посетить сегодня еще одного клиента, а времени в обрез. - Хорошо, - сказал Саймон и глубоко вздохнул. - Мой вопрос такой: верна или не верна великая теорема Ферма? Дьявол проглотил слюну. В первый раз его самоуверенность поколебалась. - Великая - чья? Что? - глухим голосом спросил он. - Великая теорема Ферма. Это математическое положение, которое Ферма, французский математик семнадцатого века, якобы доказал. Однако его доказательство не было записано, и до сего дня никто не знает, верна теорема или нет. - Когда Саймон увидел физиономию черта, у него дрогнули губы. - Ну вот, ступайте и займитесь! - Математика! - в ужасе воскликнул хвостатый. - Вы думаете, у меня было время изучать такие штуки? Я проходил тривиум и квадривиум , но что касается алгебры... Скажите, - возмущенно добавил он, - этично ли задавать мне такой вопрос? Лицо Саймона окаменело, но глаза сияли. - А вы предпочли бы сбегать за сто двадцать тысяч километров и принести какой-нибудь предмет величиной с гидростанцию Боулдер Дэм, - поддразнил он черта. - Время и пространство для вас легкое дело, правда? Что ж, сожалею, но я предпочитаю свой вопрос. Он очень прост, - успокаивающе добавил Саймон. - Речь идет о положительных целых числах. - А что такое положительное число? - взволновался черт. - И почему вы хотите, чтобы оно было целым? - Выразимся точнее, - сказал Саймон, пропустив вопрос дьявола мимо ушей. - Теорема Ферма утверждает, что для любого положительного целого числа n больше двух уравнение Xn Yn = Zn не имеет решения в положительных целых числах. - А что это значит?.. - Помните, вы должны дать ответ. - А кто будет судьей - вы? - Нет, - ласково ответил Саймон. - Я не считаю себя достаточно компетентным, хотя бился над этой проблемой несколько лет. Если вы явитесь с ответом, мы представим его в солидный университет.

- Я справлюсь, мне случалось делать и более трудные вещи, дорогой мой мистер Саймон, - сказал дьявол, - однажды я слетал на отдаленную звезду и принес оттуда литр нейтрония ровно за 16…

- Знаю, - перебил его Саймон. - Вы мастер на подобные фокусы. - Какие там фокусы! - сердито пробурчал дьявол. - Были гигантские технические трудности. Но не стоит ворошить прошлое. Я - в библиотеку, а завтра в это время... - Нет, - жестко перебил его Саймон. - Мы расписались полчаса назад. Возвращайтесь только через двадцать три с половиной часа. Не буду торопить вас, - иронически добавил он, когда дьявол с тревогой взглянул на часы. - Выпейте рюмку вина и, прежде чем уйти, познакомьтесь с моей женой. - На работе я никогда не пью, и у меня нет времени знакомиться с вашей женой... во всяком случае, теперь. Он исчез. В тот же миг вошла жена Саймона. - Опять подслушивала у дверей! - мягко упрекнул ее Саймон. - Конечно, - сдавленным голосом проговорила она. - И я хочу знать, дорогой, действительно ли труден этот вопрос. Потому что, если это не так... Саймон, я просто в ужасе! - Будь спокойна, вопрос труден, - беспечно ответил Саймон. - Не все это сразу понимают. Видишь ли, - тоном лектора продолжал он, - всякий легко найдет два целых числа, квадраты которых в сумме тоже дают квадрат. Например, 32 42 = 52, то есть просто 9 16 = 25. Ясно? - Да! Она поправила мужу галстук. - Но никто еще не мог найти два куба, которые при сложении тоже давали бы куб, или более высокие степени, которые приводили бы к аналогичному результату, - по-видимому, их просто нет. И все же, - торжествующе закончил он, - до сих пор не доказано, что таких чисел не существует! Теперь поняла? - Конечно. - Жена Саймона всегда понимала самые мудреные математические положения. А если что-то оказывалось выше ее понимания, муж терпеливо объяснял ей все по нескольку раз. Поэтому у миссис Флэгг оставалось мало времени для прочих дел. - Сварю кофе, - сказала она и ушла. Четыре часа спустя, когда они сидели и слушали Третью симфонию Брамса, дьявол явился вновь. - Я уже изучил основы алгебры, тригонометрии и планиметрии! - торжествующе объявил он. - Быстро работаете! - похвалил его Саймон. - Я уверен, что сферическая, аналитическая, проективная, начертательная и неевклидовы геометрии не представят для вас затруднений. Дьявол поморщился. - Их так много? - упавшим голосом спросил он. - О, это далеко не все. - У Саймона был такой вид, словно он сообщил радостную весть. - Неевклидовы вам понравятся, - усмехнулся он. - Для этого вам не надо будет разбираться в чертежах. Чертежи ничего не скажут. И раз вы не в ладах с Евклидом... Дьявол застонал, поблек, как старая кинопленка, и исчез. Жена Саймона хихикнула. - Мой дорогой, - пропела она, - я начинаю думать, что ты возьмешь верх! - Тсс! Последняя часть! Великолепно!

Еще через шесть часов что-то вспыхнуло, комнату заволокло дымом, и дьявол опять оказался тут как тут. У него появились мешки под глазами. Саймон Флэгг согнал с лица усмешку. - Я прошел все эти геометрии, - с мрачным удовлетворением произнес черт. - Теперь будет легче.

Я, пожалуй, готов заняться вашей маленькой головоломкой. Саймон покачал головой. - Вы слишком спешите. По-видимому, вы не заметили таких фундаментальных методов, как анализ бесконечно малых, дифференциальные уравнения и исчисление конечных разностей. Затем есть еще... - Неужели все это нужно? - вздохнул дьявол. Он сел и начал тереть кулаками опухшие веки. Бедняга не мог удержать зевоту. - Не могу сказать, наверное, - безразличным голосом ответил Саймон. - Но люди, трудясь над этой "маленькой головоломкой", испробовали все разделы математики, а задача еще не решена. Я предложил бы... Но черт не был расположен выслушивать советы Саймона. На этот раз он исчез, даже не встав со стула. И сделал это довольно неуклюже.

- Мне кажется, он устал, - заметила миссис Флэгг. - Бедный чертяка! Впрочем, в ее тоне трудно было уловить сочувствие. - Я тоже устал, - отозвался Саймон. - Пойдем спать. Я думаю, до завтра он не появится. - Возможно, - согласилась жена. - Но на всякий случай я надену сорочку с черными кружевами. Наступило утро следующего дня. Теперь супругам показалась более подходящей музыка Баха. Поэтому они поставили пластинку с Вандой Ландовской. - Еще десять минут, и, если он не вернется с решением, мы выиграли, - сказал Саймон. - Я отдаю ему должное.

Он мог бы окончить курс за один день, притом с отличием, и получить диплом доктора философии. Однако... Раздалось шипение. Распространяя запах серы, поднялось алое грибообразное облачко. Перед супругами на коврике стоял дьявол и шумно дышал, выбрасывая клубы пара. Плечи его опустились. Глаза были налиты кровью. Когтистая лапа, все еще сжимавшая пачку исписанных листов, заметно дрожала. Вероятно, у него пошаливали нервы. Молча он швырнул кипу бумаг на пол и принялся яростно топтать их раздвоенными копытами. Наконец, истощив весь заряд энергии, черт успокоился, и горькая усмешка скривила его рот.

- Вы выиграли, Саймон, - прошептал черт, глядя на математика с беззлобным уважением. - Даже я не мог за это короткое время изучить математику настолько, чтобы одолеть такую трудную задачу. Чем больше я в нее углублялся, тем хуже шло дело.

Неединственное разложение на множители, идеальные числа - о Ваал!.. Вы знаете, - доверительно сообщил он, - даже лучшие математики других планет - а они ушли далеко от вас - не добились решения. Эх, один молодчик на Сатурне - он немного напоминает гриб на ходулях - в уме решает дифференциальные уравнения в частных производных. Но тут и он спасовал, - дьявол вздохнул.

- Будьте здоровы. Черт исчезал очень медленно. Видно, он таки изрядно устал.

Размещено на