Оцінка похибки розв’язку систем лінійних рівнянь. Розрахунок дисперсії величин при точних коефіцієнтах матриці. Розробка методу розв’язання обернених задач параметричної ідентифікації характеристик нових матеріалів та роторів, що швидко обертаються.
Аннотация к работе
Technical sciencesПІДВИЩЕННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ РОЗВЯЗАННЯ ОБЕРНЕНИХ ЗАДАЧ, ЩО ОПИСУЮТЬСЯ ЛІНІЙНИМИ МОДЕЛЯМИ В роботі розглянуті недоліки оцінки похибки розвязку систем лінійних рівнянь за числом обумовленості і запропоновано оцінку дисперсій окремих розвязків за дисперсіями виміряних величин при точних коефіцієнтах матриці. Запропоновано метод зменшення уявної обумовленості лінійних моделей, який не потребує у дослідника врахування особливостей поставлених задач. Метод базується на розгляді еквівалентної системи лінійних рівнянь, одержаної за допомогою еквівалентних перетворень з початкової, з попереднім відшуканням такого оптимального вектора коефіцієнтів, щоб еквівалентна система лінійних рівнянь мала обумовленість найменшу із усіх можливих. Показана ефективність запропонованого методу при розвязанні обернених задач параметричної ідентифікації фізикомеханічних характеристик нових матеріалів та ідентифікації пружно інерційних характеристик роторів, що швидко обертаються.Аналіз (3) показує, що на величину відносної похибки шуканої величини впливають число обумовленості матриці, що визначається лише її властивостями, а також відносні похибки правих частин і елементів матриці системи. Враховуючи, що числа обумовленості матриць при розвязанні реальних практичних задач можуть досягати тисяч, очевидно, що розвязок таких задач не буде мати пtrialчної цінності без спеціальних прийомів. A і векторів y , а для абсолютно більшості векторів і матриць, які зустрічаються у реальних задачах, ліва частина формули (4) набагато менша її правої частини і «число обумовленості» найчастіше дає дуже грубу, сильно завищену оцінку похибки норми розвязку при похибках коефіцієнтів. Зокрема вказується, що основним недоліком оцінки похибки за числом обумовленості є те, що оцінюється лише осереднена норма вектора розвязків x досліджуваної СЛАР, а похибка конкретного розвязку xi залишається невідомою. При цьому може зустрітись випадок, коли при задовільній нормі похибки розвязку (?x x0 )max окремо взятий розвязок xj може мати неприйнятні великі похибки ?xj xj , які значно перевищують похибки норма вектора розвязків x .Показано, що оцінка розвязків СЛАР за числом обумовленості є ненадійною і запропоновано оцінку дисперсій окремих розвязків за дисперсіями виміряних величин при точних коефіцієнтах матриці.
Вывод
Показано, що оцінка розвязків СЛАР за числом обумовленості є ненадійною і запропоновано оцінку дисперсій окремих розвязків за дисперсіями виміряних величин при точних коефіцієнтах матриці.
Запропоновано метод зменшення уявної обумовленості лінійних моделей, який не потребує у дослідника врахування їх специфіки. Метод базується на розгляді еквівалентної системи лінійних алгебраїчних рівнянь, одержаної за допомогою еквівалентних перетворень з початкової, з попереднім відшуканням такого оптимального вектора коефіцієнтів, щоб еквівалентна система лінійних рівнянь мала обумовленість найменшу із усіх можливих. Поставлену задачу формалізовано як задачу векторної оптимізації і запропоновано компютерний засіб її реалізації.
Показана ефективність запропонованого методу при розвязку обернених задач параметричної ідентифікації фізикомеханічних характеристик матеріалів та ідентифікації пружно-інерційних характеристик роторів, що швидко обертаються.
Список литературы
1. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. - М. : Наука, 1979.
2. Андрушевский Н.М. Анализ устойчивости решений систем линейных алгебраических уравнений : учебное пособие / Н.М. Андрушевский. - М. : Издательский отдел факультета ВМИК МГУ имени М.В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2008. - 71 с.
3. Горошко А.В. Шляхи підвищення точності розвязків зворотних задач / А.В. Горошко, В.П. Ройзман // Вісник Хмельницького національного університету. -2013. - № 6. - С. 60-69.
4. Петров Ю.П. Как получать надежные решения систем уравнений / Ю.П. Петров. - СПБ. : БХВ-Петербург, 2009. - 176 с.
5. Петров Ю.П. Обеспечение достоверности и надежности компьютерных расчетов / Ю.П. Петров. - СПБ. : БХВ-Петербург, 2008. - 160 с.
6. MATHWORKS [Електронний ресурс] / The MATHWORKS, Inc. 1994-2014. - Режим доступу : http://www.mathworks.com/
7. Горошко А.В. Обернена задача ідентифікації фізикомеханічних характеристик матеріалів структурно-складних технічних систем / А.В. Горошко // Вісник Хмельницького національного університету. - 2014. - № 4. - С. 135-139.
8. Исаев Р.И. Экспериментальное исследование жесткости роторов компрессоров двигателя АИ-20. Техническая справка № 5186 / Р.И. Исаев, В.П. Ройзман. - М. : ЦИАМ, 1961.
References
1. Tikhonov A. N., Arsenin V. Y. Methods of ill-posed problems solving. - 1979.
2. Andrushevsky N.M. The analysis of the stability of solutions of systems of linear algebraic equations: the manual. -M. : Publishing Department of the Faculty of Moscow State University named after MV University; MAKS Press , 2008 . - 71 P.
3. Goroshko A.V. Ways to improve the accuracy of solutions of inverse problems / A.V. Goroshko , V.P. Royzman // Journal of Khmelnitsky National University. -2013. Number 6. -P. 60-69
4. Petrov Yu.P. How to obtain reliable solutions of systems of equations / Yu.P. Petrov // St. Petersburg.: BHV-Petersburg. - 2009. 176 p.
5. Petrov Yu.P. Ensuring the credibility and reliability of computer simulations / Y.P. Petrov // St. Petersburg.: BHV-Petersburg. -2008. 160 p.
6. MATHWORKS: [Electronic resource]. The MATHWORKS, Inc. 1994-2014 URL: http://www.mathworks.com/
7. Isaev R.I., Royzman V.P. Experimental investigation of the stiffness of the compressor rotor engine AI-20. Technical reference number 5186. CIAM, 1961. D.s.p.
Рецензія/Peer review : 04.08.2014 р. Надрукована/Printed :30.9.2014 р. Рецензент: д.т.н., проф. В.П. Ройзман
Вісник Хмельницького національного університету, №5, 2014 (217) 49