Аналитическое решение задачи теории упругости для двухсвязной области, моделирующей приводную шестерню авиационного двигателя. Оценка взаимных смещений точек на границах области. Сопоставление деформации с чувствительностью индукционных датчиков.
Аннотация к работе
ОЦЕНКА СДВИГОВОЙ ДЕФОРМАЦИИ ПРИВОДНОЙ ШЕСТЕРНИ АВИАЦИОННОГО ДВИГАТЕЛЯ Построено аналитическое решение задачи теории упругости для двухсвязной области, моделирующей приводную шестерню авиационного двигателя.Очевидно, основнымтребованиям (бесконтактность, термостойкость, высокая чувствительность к линейным и угловым перемещениям, простота, надежность) удовлетворяют индуктивные датчики, позволяющие отслеживать перемещения в десятки микрон и менее [4]. Ограничимся постановкой и решением плоской граничной задачи теории упругости в физически линейной постановке. Приложение внешних моментов моделируется приложением тангенциальных усилий, равномерно распределенных вдоль внутреннего и внешнего контуров. Тогда DS = h?Rdq, dq - угол, под которым площадка DS видна из центра; R = R и R = R2 для внутреннего и внешнего контуров соответ-1 ственно. Через rq обозначим касательное напряжение, действующее на площадку DS (проекция на ось q напряжения, действующего на площадку, нормальную к r [5, с.В работе сформулирована и решена граничная задача теории упругости для двухсвязной области, моделирующей приводную шестерню авиационного двигателя.
Введение
Актуальность контроля и диагностики технического состояния авиационных двигателей в режиме реального временинесомненна, особенно для самолетов маневренной авиации [1]. Отслеживание текущих значений такого интегрального параметра, как тяга двигателя, помогает ориентироваться при ручном управлении. Кроме того, организация обратной связи позволит стабилизировать режим работы двигателя. В качестве сенсоров используются различные датчики, например СВЧ [2], пирометрические [3] и др. Очевидно, основнымтребованиям (бесконтактность, термостойкость, высокая чувствительность к линейным и угловым перемещениям, простота, надежность) удовлетворяют индуктивные датчики, позволяющие отслеживать перемещения в десятки микрон и менее [4].
При приложении крутящего момента приводная шестерня двигателя деформируется. Изменение взаимного положения меток на контурах шестерни сигнализирует о величине момента. Целью работы является оценка этой деформации на предмет ее сопоставления с чувствительностью индукционных датчиков.
Mtrialka исследований
Ограничимся постановкой и решением плоской граничной задачи теории упругости в физически линейной постановке. Область задачи является двухсвязной и ограничена концентрическими окружностями радиусов R , R2 . Приложение внешних моментов моделируется приложением тангенциальных усилий, равномерно распределенных вдоль внутреннего и внешнего контуров. На рис.1 указаны направления этих усилий, при которых возможно равенство нулю суммарного внешнего момента.
Рис. 1. Геометрия области и внешние усилия руем граничные условия. Введем локальную систему координат rq (см. рис.1). Пусть DS - площадка на контуре, нормальная к направлению r.
Через h обозначим физическую толщину области. Тогда DS = h?Rdq, dq - угол, под которым площадка DS видна из центра; R = R и R = R2 для внутреннего и внешнего контуров соответ- 1 ственно. Через rq обозначим касательное напряжение, действующее на площадку DS (проекция на ось q напряжения, действующего на площадку, нормальную к r [5, с. 133]). Тогда элемент силы DF = rq?DS = rq?HRDQ, элемент внешнего момента DM = RDF = rq?HR2 dq. Интегрируя по углам 0 ? q ? 2p , получаем внешний момент
M = 2PR2hrq. Через M0 = M h обозначим внешний момент в расчете на единицу длины, отмеряемой вдоль направления h. Тогда M0 = 2PR2 rq. (1)
ISSN1727-0219 Вестник двигателестроения № 1/2014 - 25 - Общие вопросы двигателестроения
(
)
0
M
0
?
1
M
2
0
?
0
На внутренний и внешний контуры области должны действовать разные напряжения, обеспечивающие одинаковый момент: M0 = 2PR2 rq? = 2PR2 rq? . Здесь один штрих означает принадлежность к внутреннему контуру, а два штриха - к внешнему. Тогда следует поло-жить: 2
1
Здесь через E обозначен модуль Юнга, через s - КОЭФФИЦИЕНТПУАССОНА; E = 21 s m [5,§19,(15)]. Пересчет этих напряжений согласно [5,§8,(7)] к осям x?, y?, повернутым на угол q в положительном направлении приводит к результатам
X?? = 0 , Y?? = 0 , X?? = 2pr2 . Первые два из этих
0
M y x y rq? = 2PR2 =IA , rq? = 2PR2 = IA??. соотношений подчеркивают сдвиговый характер деформации, а третье соответствует (1).
Используя [5,§39,(2)], преобразуем поле пе-
Пусть внешняя нагрузка распределена по контуру равномерно. Тогда коэффициенты A0 , A?? являются свободными членами рядов Фурье функции rq по углу q на внутреннем и внешнем контурах соответственно. Остальные коэффициенты этих рядов равны нулю. Тогда граничные условия [5,§59,(2)] принимают вид: F(z) F(z)-e2iq(z F?(z) Y(z))= IA0 , r = R . 0 2
? i i
=
??
1
, A r R
Дальнейшее применение метода неопределен-ныхкоэффициентовсогласнометодике, изложенной в [5], приводит к резtrialтам: F(z)? 0, Y(z)= i 2p ? z2 . (2)
0
M
1
Этим самым решение граничной задачи построено.
Результаты и их обсуждение
Интерпретация решения (2) состоит в получении поля перемещений согласно [5,§32,(1)]. Для компонент u , v перемещения внутренней точки z = x iy области получаем: u = 4pm ? r sinq, v = - 4pm ? r cosq. (3)
0
M 1
0
M 1
Здесь r = z , q = arg z , m - модуль сдвига материала.
Здесь обозначено A = 4pm . Тогда согласно закону Гука [5,§19,(18)], напряжения
0
M
Xx = -1Es ? 2Axy ,Yy = 1 Es ? 2Axy ,Xy = 1 Es ? A x2 - y2 .
4 r
4 r
4 r
ремещений (3) к повернутым осям rq: vr = 0, vq = - 4pm ? r . (4)
M 1
0
Первое из этих двух соотношений подчеркивает сдвиговый характер деформации. Независимость полученных компонент перемещения от угла q обусловлена цилиндрической симметрией задачи.
Тогда углы поворота точек m?, m?? на внутреннем и внешнем участках контура: q? = vq(R )= - Mm ? 1 , q?? = vq(R2 )= - Mm ? R2 .
Использованиечисленныхзначений, характерных для двигателя МС-14, приводит к следующему результату. Взаимное смещение точек принимает значения порядка десятков микрон, что находится в пределах чувствительности индуктивных датчиков положения.
Вывод
1. В работе сформулирована и решена граничная задача теории упругости для двухсвязной области, моделирующей приводную шестерню авиационного двигателя.
2. Выполнена проверка решения и подтвержден сдвиговый характер деформации.
3. Оценено взаимное смещение точек на контурах области. Результат превосходит порог чувствительности индуктивных датчиков. Следовательно, деформация приводной шестерни может быть использована для оценки мощности двигателя в режиме реального времени.
Список литературы
1. КУЗЬМИЧЕВАА. О. Формирование информационных потоков, используемых для управления и диагностирования авиационных ГТД / Кузьмичева А. О., Мельникова Н. С., Корот-
2. Testandvalidationofamicrowavetip clearance sensorona25mwgasturbineengine/D.Kwapisz, M.Hafner,V.Spitsynetc.// Вестник двигателестроения.-2011.- № 2.- С.152-161.
3. ГУБАЙДУЛЛИНИ. Т. Потенциали реальные возможности оптико-электронной пирометрической системы для решения задач контроля и диагностикитеплонапряженного состояния рабочихлопаток турбины АВИАЦИОННЫХГТД / Губайдуллин И. Т.// Вестник двигателестроения.-2009.- № 3.- С.189-194.
5. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Мусхелишвили Н. И. - М. : Наука, 1966. - 707 с.
Поступила в редакцию 13.03.2014
Анпілогов Д.I. Оцінка зсувної деформації привідної шестерні авіаційного двигуна
Побудовано аналітичний розв’язок задачі теорії пружності для двохзвязної області, яка моделює привідну шестерню авіаційного двигуна. Оцінено взаємні зміщення точок на межах області. Встановлено, що ці зміщення є достатніми для використання індуктивних сенсорів.
Ключові слова: пласка задача теорії пружності, граничні умови, комплексні потенціали, крутний момент, зсувна деформація, сенсор положення.
Anpilogov D. Evaluation of shear strain of aircraft engine drive gear
The analytical solution of the elasticity problem for doubly connected domain, modeling the aircraft engine drive gear, is built. The mutual displacement of the boundary points is evaluated. Established that points displacement is sufficient for the inductive sensors using.