Определение основных свойств выпуклых фигур. Описание традиционного решения изопериметрической задачи. Приведение примеров задач на поиск точек экстремума. Формулирование и доказательство теоремы о пятиугольнике наибольшего периметра единичного диаметра.
Аннотация к работе
Общие свойства выпуклых фигур 1.1 Задачи 1.2 Решения 2. Изопериметрическая задача 2.1 Задачи 2.2 Решения 3. Уже в Древней Греции знали об экстремальных свойствах круга и шара: среди плоских фигур с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет круг (решение изопериметрической задачи); шар имеет максимальный объем среди пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности (решение изопифанной задачи). [4, 4] История сохранила легенду о следующей самой древней экстремальной задаче, известной как задача Дидоны: указать форму границы участка, имеющей заданную длину, при которой площадь участка максимальна. В современной редакции она выглядит так: в данный треугольник АВС вписать параллелограмм ADEF, наибольшей площади. [4, 30] Известна также задача античного математика Герона Александрийского, с которой мы знакомимся еще в школе: даны две точки А и В по одну сторону от прямой l. Требуется найти на прямой l такую точку D, что бы сумма расстояний от А до D и от В до D была наименьшей. Так, например, до сих пор не решены следующие задачи: найти минимальную площадь S выпуклой фигуры, если известен диаметр D и ширина этой фигуры, причем ; найти минимальную площадь выпуклой фигуры, если известна ширина и периметр фигуры. Общие свойства выпуклых фигур Определение 1.1.1. Плоская фигура называется выпуклой, если она целиком содержит прямолинейный отрезок, соединяющий любые две принадлежащие фигуре точки. Рис. 1.1.1 Так, на рис. 1.1.1 фигуры а), б), в) выпуклые фигуры, а фигура на рисунке 1.1.1 г) не выпукла. Пусть Ф - произвольная плоская фигура. Прямая l называется опорной прямой фигуры Ф, если она проходит хотя бы через одну граничную точку фигуры Ф и вся фигура Ф расположена по одну сторону от прямой l (рис. 1.1.5). Рис. 1.1.5 Например, прямая, проведенная через вершину треугольника параллельно противолежащей стороне (рис. 1.1.6, а), или сторона треугольника (рис. 1.1.6, 6) являются опорными прямыми треугольника; каждая сторона выпуклого многоугольника является его опорной прямой. [8, 18] Рис. 1.1.6 Опорную прямую выпуклой фигуры Ф можно также определить следующим образом: Определение 1.1.13. На отрезке АС также есть граничная точка Р2 фигуры Ф (А лежит внутри Ф, С- вне этой фигуры).