Разработка быстрого и эффективного алгоритма для решения задачи оценки параметров обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами, не разрешаемых аналитически. Реализация алгоритма в виде библиотеки на языке программирования MATLAB.
Аннотация к работе
Математическое описание процессов, протекающих в разных областях деятельности человека, часто приводит к моделям, зависящим не только от состояния системы в текущий момент времени, но и от её состояния в прошлом. К числу таких процессов можно отнести многие биологические процессы (например, изменение концентрации лейкоцитов в организме человека), химические процессы (скорость реакции, катализируемой ферментами), а также процессы из мира экономики (рост капитала) и демографии (воспроизводство населения). И хотя во многих случаях исключение запаздывания из рассмотрения позволяет адекватно описывать реальные процессы, иногда это может привести к абсурдным (или, по крайней мере, не эквивалентным реальности) выводам. Так, например, уравнение является асимптотически устойчивым, однако уравнение уже не устойчиво ни для какого положительного запаздывания [5]. Обычно модели, зависящие от предыстории, содержат одно или несколько обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с запаздывающими аргументами, как например: 1) уравнение Маккея-Гласса, описывающее концентрацию белых кровяных клеток в организме человека: , где и - параметры; 2) уравнение кинетики ферментов , где и - параметры; 3) общая модель роста капитала Солоу где ; 4) логистическое уравнение с запаздыванием (уравнение Хатчинсона или уравнение Райта) , где и - параметры. Другие интересные примеры использования ОДУ с запаздывающими аргументами можно найти, например, в книге [5]. Так для метода наименьших квадратов (являющимся базовым методом оценки параметров по выборочным данным), невозможно построить функцию цели оптимизационной задачи ввиду отсутствия в явном виде. В настоящей работе исследована задача оценивания параметров обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами, не разрешимыми аналитически, а также разработан и реализован численный алгоритм её решения. Реализовать алгоритм в виде библиотеки на языке программирования MATLAB, а также программы с графическим интерфейсом пользователя 3. Постановка задачи Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с запаздывающим аргументом: , где - независимая переменная, обычно - время, - вектор параметров размерности : , - неизвестная вектор-функция независимого аргумента и параметра размерности , - запаздывания, - известная вектор-функция размерности . Например, при использовании явного метода Эйлера, примут следующий вид: В выражении (2.10) помимо переменных и , явно включённых в правую часть равенства, также неявно входят все «запаздывающие» неизвестные функции , что необходимо учитывать при составлении якобиана и гессиана ограничений. Гессиан в методе Эйлера примет следующий вид: где для : Неявный метод Эйлера Неявный метод Эйлера характеризуется следующей формулой: Тогда ограничения задачи (2.8)-(2.9) будут иметь вид: Якобиан (2.33) будет иметь такую же структуру что и якобиан (2.20), но элементы матрицы примут другие значения, а именно: Значения гессиана будут следующими: 1. Также были рассмотрены другие методы решения системы, получаемой на каждом шаге SQP алгоритма, такие как: 1. Прямые и итерационные методы Ниже (см. Рисунок 1) представлено дерево поиска решения - красными цветом отмечены отброшенные по тем или иным причинам варианты решения, зелёным - методы и способы решения, которые были приняты и применены. Неполный гессиан (3.4) используется для возмещения отсутствия положительной определённости и для уменьшения сложности вычисления (3.3). К сожалению, матрица коэффициентов системы уравнений (3.5) не является положительно определённой (хотя блок будет положительно определён в случае использования неполного гессиана (3.4), блоки и не гарантируют наличия данного свойства у всей матрицы), что в свою очередь не позволяет использовать метод Холецкого (метод квадратного корня).