Дослідження початково-крайової задачі для квазілінійних двовимірних рівнянь параболічного типу зі сталими коефіцієнтами. Застосування функцій Гріна для одержання вагових апріорних оцінок точності різницевих схем у випадку крайових умов третього роду.
Аннотация к работе
Значне число задач фізики та техніки при дослідженні їх за допомогою математичного моделювання приводять до лінійних та нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними (рівняння математичної фізики). Теорія методу сіток або, як її ще називають, теорія різницевих схем була створена завдяки працям Вазова В., Форсайта Дж., Bramble J.H., Годунова С.К., Kreiss H.O., Марчука Г.І., Lax P.D., Richtmyer R.D., Тихонова А.М., Самарського О.А., Яненка М.М., Макарова В.Л., Лазарова Р.Д. і багатьох інших. Подібна ситуація виникає при досдідженні точності різницевих схем для нестаціонарних задач математичної фізики відносно часової змінної $t$ . Важливість дослідження початково-крайового ефекту традиційних різницевих схем та їх модифікацій не викликає сумніву, є актуальним і фактично формує новий напрямок в теорії методу сіток. У дисертаційній роботі одержано такі нові результати: · Для лінійних та квазілінійних рівнянь параболічного типу зі сталими коефіцієнтами і умовами Діріхле в 1-D, 2-D знайдено вагові апріорні оцінки, що враховують початково-крайовий ефект.Проведено аналіз відомих на даний час результатів, які стосуються теорії різницевих схем, наведено постановки задач, розглянутих у дисертаційній роботі. параболічний квазілінійний рівняння Для розвязання цієї задачі шляхом апроксимації за допомогою різницевої схеми введено сіткову область: Сітку задано так, щоб точки розриву функцій $k(x); q(x); f(x)$ збігалися з вузлами сітки. Для підтвердження отриманих теоретичних результатів у підрозділі 2.3 було проведено кілька практичних експериментів. Використовуючи оператор точних триточкових різницевих схем побудовано різницеву схему. В четвертому розділі знайдено оцінки точності різницевих схем для квазілінійних параболічних рівнянь, що враховують початково-крайовий ефект.Для одно-та двовимірних лінійних та квазілінійних рівнянь параболічного типу зі сталими коефіцієнтами і умовами Діріхле знайдено вагові апріорні оцінки, які враховують початково-крайовий ефект. Для задачі Діріхле для квазілінійного еліптичного рівняння зі змінними коефіцієнтами і мішаними похідними у прямокутнику знайдено вагові оцінки точності відповідної різницевої схеми, які враховують крайовий ефект.
План
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ
Вывод
1. Для одно- та двовимірних лінійних та квазілінійних рівнянь параболічного типу зі сталими коефіцієнтами і умовами Діріхле знайдено вагові апріорні оцінки, які враховують початково-крайовий ефект.
2. Для задачі Діріхле для квазілінійного еліптичного рівняння зі змінними коефіцієнтами і мішаними похідними у прямокутнику знайдено вагові оцінки точності відповідної різницевої схеми, які враховують крайовий ефект. При цьому були використані оригінальні оцінки різницевої функції Гріна.
3. Для всіх вагових апріорних оцінок, що враховують початково-крайовий ефект, у випадку умов Діріхле в термінах гладкості вхідних даних знайдені достатні умови, які гарантують справедливість цих оцінок.
4. Для звичайного диференціального рівняння другого порядку з крайовими умовами третього роду знайдені вагові апріорні оцінки точності модифікованої різницевої схеми (через перехід до системи рівнянь першого порядку), що враховують крайовий ефект як для розвязку, так і для його похідної. Показано, що використання традиційної різницевої схеми для одержання відповідних вагових апріорних оцінок накладає більш жорсткі умови на гладкість розвязку вихідної диференціальної задачі.
5. Проведено ряд чисельних експериментів, що підтверджують теоретичні результати.
Список литературы
1. Макаров В.Л., Демків Л.І. Оцінки точності різницевих схем для параболічних рівнянь, що враховують початково-крайовий ефект // Доповіді НАН України.-2003.-№2.-С.26-32.
2. Makarov V.L., Demkiv L.I. Accuracy estimates of the difference schemes for quasi-linear parabolic equations taking into account the initial-boundary effect // Comput. Methods Appl. Math. -2003. -Vol.3, №.4. -P.579-595.
3. Makarov V.L., Demkiv L.I., Accuracy estimates of difference schemes for quasi-linear elliptic equations with variable coefficients taking into account boundary effect // Lect. notes Comput. Sc. - 2005, vol.3401. -P. 80 - 90
4. Makarov V., Demkiv L. Taking into account the third kind conditions in weight estimates for difference schemes // Lect. notes Comput. Sc. -2006. -Vol.3743. -P.687 - 694.
5. Makarov V., Demkiv L. Estimates of accurancy of difference schemes for ordinary differential equations with third kind boundary conditions// Softtrade. - 2006. - P. 139 - 145.
6. Макаров В.Л., Демків Л.І. Оцінки точності різницевих схем для параболічних рівнянь з врахуванням початково-крайового ефекту // Міжнар. конф. ”Обчислювальна математика і математичні проблеми механіки”.-Дрогобич:Дрогобицький держ. пед. ун-т. ім. Івана Франка, 2001. - С.9 - 10.
7. Макаров В., Демків Л. Оцінки точності традиційних різницевих схем для квазілінійних параболічних рівнянь, що враховують початково-крайовий ефект // Всеукр. конф. ``Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики”. -Львів:Львівський нац. ун-т. ім. Івана Франка, 2003. - С.87.
8. Demkiv L.I. Research into initial-boundary effects of the physical processes // Proc. 4th IMACS Symp. on Math. Mod., Vienna(Austria). - 2003. -P.301.
9. Makarov V.L., Demkiv L.I. Taking into account the third kind conditions in weight estimates for difference schemes // Proc. 5th Intern. Conf. "Large Scale Scientific Computations" (LSSC"05). -Sozopol (Bulgaria):Inst. for Parallel Processing, Bulg. Acad. of Sci., 2005. -P.B-42.
10. Makarov V.L., Demkiv L.I. Accuracy estimates of difference schemes for quasi-linear elliptic equations with variable coefficients taking into account boundary effect // Proc. Third Intern. Conf. on Numer. Anal. and Appl. (NA&A"04). -Rousse(Bulgaria):Univ of Rousse, 2004. -P.27.