Дослідження рівномірного і поточкового коопуклого наближення неперервних на дійсній осі періодичних функцій тригонометричними і алгебраїчними поліномами та сплайнами. Нерівність Джексона-Стєчкіна. Приклад кусково-опуклої функції, що "погано" наближається.
Аннотация к работе
Рульє, в яких було встановлено аналог теореми Вейєрштраса про наближення многочленами для ФЗН q-монотонних функцій (q=1 - монотонних, q=2 - опуклих,...), і зокрема, для q=1 було отримано перші оцінки, схожі на оцінку Джексона і доведено неможливість зведення ФЗН до наближення без обмежень. На сьогоднішній день в роботах Бітсона, ДЕВОРА, Дзюбенка, Ілієва, Коновалова, Копотуна, Левіатана, Шведова, Шевчука, Цу, Ю та інших майже повністю досліджено питання: в яких випадках ФЗН класичні оцінки наближення без обмежень многочленами і сплайнами неперервних на відрізку функцій зберігаються, а в яких - ні. Метою дисертаційної роботи є: ? Встановити нерівність Джексона-Стєчкіна, що включає третій модуль неперервності для коопуклого наближення неперервних на дійсній осі періодичних функцій тригонометричними поліномами і сплайнами. ? Встановити точні за порядком поточкові оцінки для коопуклого наближення неперервних, а також диференційовних на відрізку функцій алгебраїчними многочленами і сплайнами у випадках, де такі оцінки не були відомі. Для побудови вказаних поліномів та сплайнів у роботі використовуються класичні і сучасні методи наближень і інтерполяції, що ґрунтуються на: проміжному наближенні; властивостях поліноміальних ядер типу Джексона, Дзядика, Шевчука; ідеї ДЕВОРА і Ю монотонного "розбиття" одиниці; представленнях сплайнів січними степеневими функціями; властивостях скінченних і розділених різниць; ідеї ДЕВОРА представлення похідної сумою "малої" і "великої" функції; теоремах про одночасне наближення функції і її похідної; нерівностях Уітні, Маркова, Дзядика; деяких спеціальних конструкціях.У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі дослідження, визначено предмет дослідження, перелічено методи, використані при проведенні досліджень, висвітлено наукову новизну отриманих результатів, їх теоретичне значення, подано інформацію про особистий внесок здобувача, апробацію результатів дисертації та публікації, описано структуру та зміст роботи. Як завжди, C - простір 2?-періодичних неперервних дійсно значних функцій з рівномірною нормою, ? (2)(Y) - множина тих функцій FI C, які є опуклими донизу на відрізку для парного індексу і, та опуклі догори на для непарних і (ці функції називають коопуклими). Для функції FI C і числа NIN позначимо через En (f)Y величину найкращого рівномірного наближення функції f тригонометричними поліномами порядку ? n-1, що належать множині ? (2)(Y). З доведення теореми 1 випливає існування такого N(Y), яке залежить лише від Y, що для кожної функції FI ? (2)(Y) нерівність (2) має місце для всіх натуральних n?N(Y) зі сталою c(s), яка залежить тільки від s. Целлер (1968) довели нерівність Джексона (з першим модулем неперервності) для наближення неперервних 2?-періодичних "дзвоноподібних" (парних та незростаючих на [0, ?]) функцій "дзвоноподібними" поліномами.
План
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ
Вывод
Дисертація присвячена рівномірному і поточковому коопуклому наближенню дійснозначних функцій тригонометричними і алгебраїчними поліномами та сплайнами. Основними результатами дисертації є: · доведено, що класична нерівність Джексона-Стєчкіна, яка повязує величину найкращого рівномірного наближення будь-якої неперервної на дійсній осі періодичної функції тригонометричними поліномами порядку ? n-1 з її k-м модулем неперервності, зберігається і для коопуклого наближення з k=3;
· доведено, що ця нерівність є хибною для коопуклого наближення з k?4;
· доведено, що класична оцінка типу Нікольського поточкового наближення многочленами неперервних на відрізку функцій зберігається і для коопуклого наближення, якщо функція має більше однієї точки перегину, а її гладкість характеризується третім модулем неперервності;
· отримано проточкові оцінки коопуклого наближення многочленами функцій з класу Wr r>3 (тобто таких, що мають (r-1)-у абсолютно неперервну похідну на I і обмежену r-у похідну), які мають більш ніж одну точку перегину;
· такі ж задачі розвязано і для коопуклого наближення сплайнами.
Всі наближаючі поліноми і сплайни побудовано конструктивно.
Список литературы
1. Дзюбенко Г.А., Залізко В.Д. Коопукле наближення функцій, які мають більше однієї точки перегину // Укр. матем. журн. - 2004. - № 3. - С. 352-365.
2. Дзюбенко Г.А., Залізко В.Д. Поточкові оцінки коопуклого наближення диференційовних функцій // Укр. матем. журн. - 2005. - Т. 57, № 1. - С. 47-59.
3. Залізко В.Д. Контрприклад для коопуклого наближення періодичних функцій // Науковий часопис Національного педагогічного університету імені М.П. Драгоманова. Серія 1. Фізико-математичні науки. 2006. - №6.- С. 91-96.
4. Залізко В.Д. Коопукле наближення періодичних функцій // Укр. матем. журн. - 2007.- Т. 59, № 1. - С. 29-42.
5. Залізко В.Д. Поточкові оцінки коопуклого наближення диференційовних функцій // Міжнародна конференція памяті В.Я. Буняковського (1804-1889): Тези доповідей. - Київ. - 2004. - С. 68.
6. Залізко В.Д. Оцінка типу Нікольського для коопуклого наближення функцій, які мають більше однієї точки перегину // Конференція "Функціональні методи в теорії наближень, терії операторів, стохастичному аналізі та статистиці II", присвячена памяті професора А.Я. Дороговцева (1935-2004): Тези доповідей. - Київ. - 2004. - С. 47.
7. Zalizko V.D. A Countrexample in coconvex approximation // LYAPUNOV MEMORIAL CONFERENCE. International Conference on the occasion of the 150th birthday of Aleksandr Mikhailovich Lyapunov: Book of abstracts. - Kharkiv: Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of NAS of Ukraine. - 2007. - P. 177.
8. Zalizko V.D. Jackson inequality for coconvex approximation of periodic functions //Bogolyubov Readings 2007: Program and Abstracts. - Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine. - 2007. - P. 58.