Основы представления многомерных данных. Решение линейных многомерно-матричных уравнений на основе псевдообращения многомерной матрицы - Контрольная работа

Контрольная работаРазмер NA матрицы А указывает общее число элементов матрицы. При индексном представлении элементов матрицы целесообразно ставить знак « » или «-» соответственно над столбцовым или строчным индексом. Если матрица А является функциональной, например зависит от времени t, от пространственных координат x, y и т.д., то структурные числа p и q следует отделять от аргументов точкой с запятой, например Вершиной данной гиперплоскости условимся называть ту точку из выбранных (N 1) точек, через которую не проводится гиперплоскость. Генеральной гиперплоскостью данной граничной точки будем называть гиперплоскость, вершина которой и данная граничная точка расположены по разные от нее стороны.Вернемся к нашему примеру: , . множество матрица разложение индекс Матрица H (q,p) может быть выражена через сингулярное разложение матрицы H(p,q). Ортогонализация столбцов матрицы методом ГШО производится по уравнениям ; Вспомогательная матрица находится методом ГШО из столбцов матрицы , т.е. к столбцам матрицы, сформированной из двух матриц , , применяют процедуру, аналогичную процедуре (10), но с тем отличием, что после получения каждого ортогонального вектора, начиная с первого вектора, его нормируют путем деления всех компонентов вектора на его норму. Используя матрицу, полученную в (11), вычисляем матрицуОпределение оптимального управления сводится к поиску такого набора численных значений переменных, при котором функция Ф достигает экстремального значения. Функция должна обладать свойством однозначности, т.е. при любом наборе численных значений X1,X2,…,Xn принимать только одно значение. Изменив уровень Ф0 функции, получим другую поверхность равного уровня, причем различные поверхности равных уровней вложены одна в другую, но нигде не соприкасаются. В n-мерном пространстве градиент направлен перпендикулярно (нормально) к поверхности равного уровня в точке и указывает направление наискорейшего возрастания функции. Противоположный по направлению вектор , называемый антиградиентом, дает направление наискорейшего убывания функции.Кратко изложить реализацию методов: координатного спуска в методе Гаусса-Зейделя, наискорейшего спуска.Матрица дискретного преобразования Фурье имеет вид: где Коэффициенты разложения сигнала имеют вид: . Дискретное преобразование Уолша, как и дискретное преобразование Фурье, представляется в матричной форме: FY=HN*S/N; S= (HN)T*FY. Коэффициенты спектрального разложения по функциям Уолша имеют прямую последовательность в отличие от БПФ, имеющей последовательность с двоично-инверсными номерами. Коэффициенты спектрального разложения по функциям Хаара имеют прямую последовательность в отличие от БПФ, имеющей последовательность с двоично-инверсными номерами.В общем виде задача Коши формулируется следующим образом: найти решение y=f(x) дифференциального уравнения следующего вида dy/dx = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию y(0) = yo . Для решения поставленной задачи применим два метода: метод Эйлера и метод Рунге-Кутта 4-го порядка. Метод Эйлера заключается в том, что решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка задается рекуррентной формулой следующего вида: yk 1= yk h* f(xk , yk ), где xk =xo h* k, xo=0, k=0,1,2,... Пусть в колонке D вычисляется решение нашей задачи по формуле Эйлера; в колонке В находится текущее значение переменной x; в колонке С вычисляется точное решение; приближенное решение. Пусть в колонке А находятся границы отрезка [0,T]; в колонке В находится текущее значение переменной x; в колонке С вычисляется точное решение; в колонке H вычисляется значение численного решения задачи Коши методом Рунге-Кутта 4-го порядка; в ячейках D2-G2 записаны формулы для коэффициентов m1-m4.

1. Шевцов Г.С. Линейная алгебра: учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 576 с.

2. Дж. Деммель. Вычислительная линейная алгебра. - М.: Мир, 2001. - 428 с.

3. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Matlab-система символьной математики. - М.: Нолидж,1999. - 634 c.

4. Мартынов Н.Н. Введение в Matlab 6. - М: Кудиц-образ, 2002. - 346 c.

Контрольные вопросы по дисциплине ”Вычислительная математика”

1. Упорядоченное множество элементов. Индексное представление многомерной матрицы.

2. Операции над многомерными матрицами. Умножение на скаляр, сложение, транспонирование матриц.

3. Операции над многомерными матрицами. Свернутое произведение и кронекеровское произведение матриц.

4. Операции над многомерными матрицами. Столбцовая и строчная векторизация матриц.

5. Операции над многомерными матрицами. Столбцовая и строчная девекторизация матриц.

6. Обращение многомерной матрицы. Демонстрационный пример из лабораторного практикума.

7. Неупорядоченное множество элементов. Описание области системой линейных неравенств.

8. Получение уравнения гиперплоскости, проходящей через заданное количество точек.

9. Линейные преобразования Евклидова пространства. Демонстрационный пример из лабораторного практикума.

10. Погрешность решения системы линейных алгебраических уравнений. Определение числа обусловленности матрицы.

11. Определение псевдообратной матрицы для произвольной матрицы на основе метода ортогонализаци Грамма-Шмидта. Ортогонализация столбцов матрицы, матрица перестановок.

12. Определение псевдообратной матрицы для произвольной матрицы на основе метода ортогонализации Грамма-Шмидта. Демонстрационный пример из лабораторного практикума.

13. Определение псевдообратной матрицы для произвольной матрицы c комплексными числами на основе метода ортогонализации Грамма-Шмидта. Ортогонализация столбцов матрицы, матрица перестановок.

14. Минимизация многомерных функций методом Давидона-Флетчера-Пауэлла. Условия применения метода. Вычисление градиента функции, нормирование градиента.

15. Минимизация многомерных функций методом Давидона-Флетчера-Пауэлла. Формирование вектора направления, вектора положения.

16. Минимизация многомерных функций методом Давидона-Флетчера-Пауэлла. Поиск минимума функции методом золотого сечения. Определение интервала неопределенности, сокращение интервала неопределенности.

17. Минимизация многомерных функций методом Давидона-Флетчера-Пауэлла. Поиск минимума методом квадратичной аппроксимации. Определение интервала неопределенности, сокращение интервала неопределенности.

18. Минимизация многомерных функций методом Давидона-Флетчера-Пауэлла. Формирование вектора направления, вектора положения на второй и последующих итерациях.

19. Особенности минимизации многомерных функций при наличии линейных ограничений методом Давидона-Флетчера-Пауэлла.

20. Минимизация многомерных функций без ограничений методом Давидона-Флетчера-Пауэлла. Демонстрационный пример из лабораторного практикума.

21. Минимизация многомерных функций с линейными ограничениями методом Давидона-Флетчера-Пауэлла. Демонстрационный пример из лабораторного практикума.

22. Упрощенные методы минимизации многомерных функций. Метод Гаусса-Зайделя, метод наискорейшего спуска, овражный метод, формирование движения по прямой в заданном направлении.

23. Минимизация многоэкстремальных функций. Метод тяжелого шарика.

24. Определение псевдообратной комплексной матрицы для произвольной матрицы на основе сингулярного разложения. Определение собственных чисел и векторов.

25. Решение системы линейных уравнений. Метод сингулярного разложения комплексных произвольных матриц. Демонстрационный пример.

26. Решение системы линейных уравнений. Метод сингулярного разложения вещественных произвольных матриц. Демонстрационный пример.

27. Аппроксимация функций. Демонстрационный пример из лабораторной работы по минимизации функций многих переменных.

28. Понятие прямого быстрого дискретного преобразования Фурье.

29. Понятие обратного быстрого дискретного преобразования Фурье.

30. Понятие прямого и обратного быстрого дискретного преобразования Уолша-Адамара.

31. Вычисление производной функции на основе аппроксимации (демонстрационный пример из лабораторной работы по минимизации функций многих переменных) и метода конечных разностей.

32. Численное решение системы дифференциальных уравнений. Метод Эйлера-Коши с итерациями.

Размещено на .ru